O conjunto dos números complexos é um conjunto numérico que abriga todos os demais conjuntos. Ele insere a ideia de raiz com número negativo e tem como principal criador o cientista Girolamo Cardano.
Os números complexos surgiram da necessidade de explicar equações que aceitavam números negativos como raiz. Veja o seguinte exemplo:
x² + 1 = 0, note que as raízes possíveis são: x = ±√-1, mas no conjunto dos números reais, não existe raiz de números negativos. Com isso foi introduzido o conceito dos números complexos. Denotado por i² = -1, com "i" sendo a unidade imaginária. Então, as raízes possíveis para a equação acima passa a ser ± i.
Os número imaginários (Z) podem ser representados de duas maneira.
- Forma algébrica, representada por: Z = a ± b.i, onde a e b são números reais. Porém, dizemos que "a" é a parte real e "b” é a parte imaginária. Quando a parte real é nula (a=0), dizemos que o número é imaginário puro, quando a parte imaginaria é nula (b = 0), o número é real;
- Forma trigonométrica, representada por: Z = |Z . (cosΘ ± i senΘ), onde |Z| é chamado de módulo do número número complexo, que é a distância entre a origem ao ponto (de coordenadas (a,b)), no plano de Argand-Gauss. É calculado como: |Z = √(a² + b²).
O plano de Argand-Gauss é uma adaptação do plano cartesiano e uma forma de representar os números complexos. No eixo X, fica a parte real do número (a), e no eixo Y, fica a parte imaginária (b). Temos o argumento do número complexo que é o ângulo formado entre o módulo e o eixo dos reais. Utilizamos seno e cosseno do ângulo para calculá-los. Dessa forma temos:
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a = |Z| cos Θ
b = |Z| sen Θ
Para finalizar, temos o conjugado do número complexo. Representado por Z*, é o número complexo com sinal da parte imaginária trocado.
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