Progressão Aritmética

Progressão Aritmética (PA) é uma sequência formada por números que são sempre o antecessor somado um valor fixo (chamado de razão).

 

A PA pode ser representada por: (a₁, a₂, a₃, . . ., aₙ₋₁, aₙ ), onde cada "a" representa um termo da PA, e "aₙ" um elemento qualquer desta sequência. A PA pode apresentar valores finitos ou infinitos de termos.

 

A chamada "fórmula do termo geral", é uma equação que nos permite encontrar qualquer termo da PA a partir dela. Dada por:
aₙ = a₁ + (n-1).r

 

Veja um exemplo abaixo:

(1,3,5,7, a₅) - note que, partindo do primeiro termo 1, somamos sempre o valor 2 (razão) para encontrarmos os demais elementos desta PA. Podemos aplicar a fórmula do termo geral para descobrirmos o 5º termo desta PA, veja:

a₅ = 1 + (5-1).2 = 9.

 

As progressões aritméticas podem ser de três tipos:

 

- Crescente - quando os termos aumentam seus valores também aumentam;
- Decrescente - quando os termos aumentam seus valores diminuem,
- Constante - quando os termos aumentam seus valores permanecem constantes.

 

Se quisermos saber a soma dos temos de uma PA podemos fazer uma soma termo a termo. Utilizando a PA do exemplo acima, podemos somar os 5 primeiros termos, neste caso teremos:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
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Ou, podemos utilizar a equação de somas de termos de uma PA, dada por:

Sₙ = ((a₁ + aₙ) . n) / 2

 

Aplicando no exemplo acima teremos:

S₅ = ((1 + 9) . 5) / 2 = 25

 

Temos ainda três propriedades importantes da PA:

 

- Em uma PA finita, a soma de dois termos, que fiquem a uma mesma distância dos extremos, é igual à soma dos extremos;
- Em uma PA finita, onde o número de termos é ímpar, o termo do meio será igual a média aritmética dos termos dos extremos;
- Ao pegarmos três termos seguidos de uma PA, o termo do meio será a média aritmética dos outros dois termos.

 

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