Progressão geométrica

Na matemática, progressão geométrica (PG) é definida por uma sequência da qual cada termo é dado pelo produto de seu antecessor por uma razão (q). Por exemplo:

 

- A sequência (1, 3, 9, 27, 81) é uma PG pois cada termo é o antecessor multiplicado por 3.

 

A razão da PG pode ser encontrada dividindo um termo por seu antecessor. Por exemplo, na sequência acima, temos que 3/1 = 9/3 = 27/9 = 81/27 = 3 = q.

 

Uma PG pode ser classificada como finita ou infinita, se possuir uma quantidade de termos limitada ou ilimitada, respectivamente. Também podemos classificar uma PG como convergente quando os termos tendem a zero ou divergente quando os termos tendem a mais infinito (+∞) ou menos infinito (-∞). Veja alguns exemplos:

 

- (4, 2, 1, ½, ¼, 1/8, …) é uma PG convergente, pois tende a zero;
- (1, 4, 16, 64, 256, …) é uma PG divergente, pois tende a +∞;
- (-1, -5, -25, -125, …) é uma PG divergente, pois tende a -∞.

 

Uma PG pode ser crescente, quando seus termos aumentam, constante e decrescente, quando quando seus termos diminuem. O termo geral de uma PG é dado por: aₙ=a₁.nⁿ⁻¹, onde aₙ é o termo desejado e a₁ é o 1º termo da sequência.

 

Podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG finita através da seguinte equação:
Sₙ=a₁.(qⁿ-1)/q-1

 

Para uma PG infinita convergente, podemos calcular o valor da soma de todos os seus termos através da seguinte equação:
S=a₁/1-q

 

Existem inúmeras aplicações de PGs em nossa vida. Elas podem descrever o crescimento populacional, também são utilizadas nos cálculos de juros compostos e até mesmo no nascimento de novos galhos em uma árvore.

 

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