Conjuntos

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Na matemática, conjunto é uma coleção de objetos quantificáveis, os quais chamamos elementos.

Representação de um conjunto

Para representar conjuntos, utiliza-se letras maiúsculas do alfabeto (letras de A a Z).

Diagrama de Venn-Euler

Visualmente, podemos representar conjuntos como circunferências que contêm elementos.

Conjunto representado por uma circunferência, com quatro elementos, representados por pontos, dentro de si.
Conjunto de elementos

O modelo pode, também, representar dois ou mais conjuntos que possuem elementos em comum (chamamos de interseção).

Dois conjuntos, representados por circunferências, que se sobrepõem e possuem um elemento, representado por um ponto, em comum.
Dois conjuntos com elementos em comum.
Três conjuntos, representados por circunferências, que se sobrepõem e possuem elementos, representados por pontos, em comum.
Três conjuntos com elementos em comum

Representação por enumeração ou listagem

Pode-se representar um conjunto através da enumeração, ou seja, uma listagem de elementos contidos por chaves.

Exemplo:

A={1, 2, 3, 4}

Lê-se “O conjunto A contém os elementos 1, 2, 3 \, e \, 4”.

Representação por meio de uma propriedade

Também é aceitável representar um conjunto através de uma propriedade, uma característica particular, que classifique os elementos de tal conjunto.

Exemplo:

B={n I n é vogal} = {a, e, i, o, u}

Lê-se “B contém n, tal que (|) n é vogal”. Logo, B contém os elementos “a”, “e”, “i”, “o” e “u”.

Conjunto, elemento e pertinência

De início, destacamos que essas três noções matemáticas são isentas de definição matemática.
O conjunto, como dito antes, é um agrupamento ou coleção de um grupo de elementos. Os elementos são objetos que compartilham uma característica (como pertencerem a um determinado conjunto).

A relação de pertinência, por sua vez, implica se determinado elemento pertence ou não a um conjunto. Usa-se o símbolo “\subset” (pertence) para um elemento que pertence a algum conjunto e “\not\subset” (não pertence) para um elemento que não pertence a um conjunto.

Exemplos:

1) Dado o Conjunto A={p,q,r}, diz-se que p \subset A, q \subset A e r \subset A.

2) Dado o Conjunto B={s,t,u}, sabe-se que p \not\subset B, q \not\subset B e r \not\subset B.

Conjunto unitário

Chama-se unitário o conjunto que contém apenas um elemento, ou seja, apenas um elemento satisfaz a característica do conjunto.

Exemplo:

A={n \in vogais | n ≠ a, i, o, u}

Lê-se “A contém n que pertence (\in) às vogais, tal que ( | ) n é diferente (≠) de a, i, o, u.”

Ou seja, seria o mesmo que A={e}.

Conjunto vazio

Chama-se vazio o conjunto sem elementos, ou seja, nenhum elemento satisfaz a propriedade característica.

Exemplo:

B={x ∈ vogais I x ≠ a, e, i, o, u}, logo A é conjunto vazio.

Representa-se A={ } ou A=Ø.

Conjunto universo (U)

Chama-se universo o conjunto que contém todos os elementos. Representa-se o conjunto universo, usualmente, pela letra U, tal que \mathbf{x \in U, \forall \, x} (Lê-se “x pertence a U para todo (\forall) x.”).

Três conjuntos, dois representados por circunferências, um que engloba os demais, representado por um retângulo
Conjunto universo, que contém todos os demais.

Perceba, no exemplo da imagem, que U contém além dos elementos de A e B, também os elementos que não pertencem a nenhum dos outros conjuntos.

Conjuntos iguais

Dados os conjuntos A e B, diz-se A = B se, e somente se, os elementos de A e B forem os mesmos.

Exemplos:

1) A={3,4,9} e B={9,4,3}, então A=B;

Perceba que a ordem dos elementos não importa, apenas que eles são os mesmos: “3”, “4” e “9”.

2) C={1,1,1,1,2,3} e D={1,2,3}.

Agora, perceba que C possui elementos repetidos (“1”), mas ainda assim C=D, pois pode-se notar que os elementos de ambos conjuntos são os mesmos: “1”, “2” e “3”, apesar da repetição.

Subconjunto

Diz-se que B é subconjunto de A se, e somente se, todos os elementos de B também forem elementos de A.

Representa-se essa noção por: B \subset A \leftrightarrow ( \forall n \in B \rightarrow n \in A)

Lê-se “B está contido (\subset) em A se, e somente se, (\leftrightarrow) para todo (\forall) n pertencente a B implica (\rightarrow) que n pertence a A”.

Dois conjuntos, representados por circunferências, sendo que um está dentro do outro. Dentro da circunferência mais interna existem vogais e, entre a circunferência interna e externa, consoantes.
B é subconjunto de A, pois todo elemento de B também pertence a A.

Por exemplo, seja B o conjunto das vogais e A do alfabeto, podemos dizer que B é um subconjunto de A, porque toda vogal também faz parte do alfabeto.

Propriedades da inclusão

Algumas propriedades são fundamentais para a teoria de conjuntos, são elas:

a) \mathbf{A \subset B} significa que A está contido em B e, por isso, todo os elementos de A pertencem a B;

b) Usa-se \mathbf{B \supset A} para B contém A que equivale a \mathbf{A \subset B}, A está contido em B;

c) Usa-se A \not\subset B para representar que A não está contido em B;

d) Propriedade transitiva: Se A \in B e B \in D então A \in D (se A está contido em B e B está contido em D, então A está contido em D);

e) Igualdade de conjuntos: A \in B e B \in A   \leftrightarrow   A = B (se A está contido em B e B está contido em A, então A é igual a B);

f) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: Ø \in A para todo A;

g) O número de subconjuntos possíveis em A é 2^{n} para n elementos de A.

Conjunto das partes

Se A é um conjunto qualquer, chama-se conjunto das partes de A todos os subconjuntos de A. Denota-se o conjunto das partes de A por P(A).

Exemplos:

Dado A={a,b,c},

1) Sabe-se que Ø é subconjunto de A;

2) Para A, tem-se também os subconjuntos unitários {a}, {b} e {c};

3) Também os subconjuntos {a,b}, {a,c} e {b,c};

4) Nota-se pela definição de conjuntos que todo conjunto é subconjunto dele mesmo e por isso temos também o subconjunto {a,b,c}.

Por isso P(A)={Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.

Vale notar que se fez válida a propriedade de inclusão “g”, uma vez que o número de subconjuntos pôde ser dado por \mathbf{2^{3} = 8}.

União de conjuntos

Dados os conjuntos A e B, o conjunto união de A e B (A B) é composto por todos os elementos do conjunto A e do conjunto B.

Na esquerda: dois conjuntos, representados por circunferências, uma laranja e a outra azul, que se sobrepõem em uma pequena área, ambas com fundo branco. Na direita: a mesma imagem, com fundo laranja.
União de dois conjuntos.

Dessa maneira tem-se que A ∪ B = {x I x ∈ A e/ou x ∈ B} (Lê-se “A união contém x, tal que x pertence a A e/ou x pertence a B”}.

Exemplos:

A={x I x \in vogais}, B={y I y \in consoantes}, portanto A \cup  B={Alfabeto}.

Propriedades da união

Sobre a união de conjuntos, algumas propriedades são notáveis:

a) \mathbf{A \cup} Ø = A, a união de um conjunto com o conjunto vazio é o próprio conjunto;

b) \mathbf{A \cup U = U}, pois o conjunto universo contém todos os elementos;

c) \mathbf{A \cup A = A}, propriedade idempotente;

d) \mathbf{A \cup B = B \cup A}, propriedade comutativa;

e) \mathbf{A \cup (B \cup D) = (A \cup B) \cup D}, propriedade associativa.

Interseção de conjuntos

Dados os conjuntos A e B, o conjunto interseção de A com B (\mathbf{A \cap B}) é o conjunto formado pelos elementos em comum entre A e B.

Na esquerda: dois conjuntos, representados por circunferências, uma laranja e a outra azul, que se sobrepõem em uma pequena área, ambas com fundo branco. Na direita: a mesma imagem, a área de sobreposição em laranja.
Interseção de dois conjuntos.

Exemplo:

A={a,b,c}, B={c,d,e}, portanto A \cap B={c}.

Propriedades da interseção

Sobre a interseção de conjuntos, algumas propriedades são notáveis:

a) \mathbf{A \cap} Ø = Ø, a interseção de um conjunto com o conjunto vazio é o próprio conjunto vazio;

b)\mathbf{A \cap U = A}, a interseção de um conjunto com o conjunto universo é o próprio conjunto;

c) \mathbf{A \cap A = A}, propriedade idempotente;

d) \mathbf{A \cap B = B \cap A}, propriedade comutativa;

e) \mathbf{A \cap (B \cap D) = (A \cap B) \cap D}, propriedade associativa.

Propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos

Existem também propriedades notáveis que relacionam a interseção e união de conjuntos.

Propriedade distributiva

Algumas propriedades de caráter distributivos são notáveis para a teoria de conjuntos:

a) A \cap (B \cup D) = (A \cap B) \cup (A \cap D);

b) A \cup (B \cap D) = (A \cup B) \cap (A \cup D).

Quando A está contido em B

Existem características notáveis para os casos em que um conjunto está contido em outro:

a) \mathbf{A \cup B = B \leftrightarrow A \cap B = A};

b) \mathbf{(A \cup D) \subset (B \cup D)}, sendo D um terceiro conjunto;

c) \mathbf{(A \cap D) \subset (B \cap D)}, sendo D um terceiro conjunto.

Diferença de conjuntos

A diferença de conjuntos é dada pelos elementos de um conjunto que estão ausentes no outro.

Dois conjuntos, representados por circunferências, que se sobrepõem. Em laranja, destaca-se a área de um dos conjuntos, onde não há sobreposição.
Diferença de conjuntos segundo os diagramas de Venn-Euler.

Assim sendo, tem-se que A – B = {n I n ∈ A e n B}.

Vale ressaltar também que para o caso a propriedade comutativa torna-se inválida e A – B ≠ B – A.

Conjunto complementar

Dados dois conjuntos A e B, tal que B é subconjunto de A (B ⊂ A), diz-se que o conjunto complementar de B em relação a A (\mathbf{C^{B}_{A}}) é dado pelo conjunto que contém os elementos faltantes para que B se torne A. Denota-se, também, o complementar do conjunto A por \overline{A}.

Tem-se então que C^{B}_{A} = \overline{A} = A - B  para B ⊂ A.

Propriedades do conjunto complementar

Existem algumas propriedades notáveis para conjuntos complementares:

a) \mathbf{\overline{U} = \phi}, o complementar do conjunto universo é o conjunto vazio e vice-versa;

b) \mathbf{\overline{\overline{A}} = A}, o conjunto complementar do conjunto complementar de A é A;

c) Se \mathbf{x \in A \rightarrow x \not\in \overline{A}};

d) Se \mathbf{x \in \overline{A} \rightarrow x \not\in A};

e) \mathbf{\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}}, Teorema 1 de De Morgan;

f) \mathbf{\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}}, Teorema 2 de De Morgan;

g) \mathbf{A \subset B \Leftrightarrow \overline{A} \subset \overline{B}}

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é um conjunto denotado \mathbf{A \Delta B}, tal que este conjunto seja dado por \mathbf{A \Delta B= (A-B) \cup (B-A)}.

Dois conjuntos, representados por circunferências, que se sobrepõem. Em laranja, destaca-se as áreas dos dois conjuntos, onde não há sobreposição.]
Representação da diferença simétrica pelo diagrama de Venn-Euler.

Número de elementos de uma união de conjunto

Dado um conjunto A \cup B de forma que A \cup B não seja um conjunto vazio, calcula-se o número de elementos pertencentes a A \cup B por \mathbf{n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)}, uma vez que a intersecção contém elementos presentes em ambos conjuntos (A e B).

Exemplo:

O conjunto A possui 10 elementos e o conjunto B possui 13 elementos; A \cap B possui 6 elementos, então quanto vale n(A \cup B)?

Pela notação, temos que n(A \cup B)=n(A)+n(B)- n(A \cap B);

Assim, n (A \cup B)=10+13-6=17.

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