Função afim

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A função afim, também conhecida como “função do primeiro grau”, é aquela na qual o maior expoente da incógnita é 1. A função afim possui características particulares, que a definem, como sua raiz, coeficientes linear e angular e sua representação por meio de uma reta no plano cartesiano.

Função constante

A função f(x)=ax^{n}+b será uma função constante se, e somente se, a=0. Desta forma, a função resultante será f(x)=b, ou seja, uma função que independe da incógnita.

Assim sendo, para a função constante, a imagem sempre será o termo independente “b”.

Exemplo:

Observe o gráfico da função constante f(x)=3:

– Função constante representada, no plano cartesiano, por uma reta horizontal que passa pelo ponto (0,3)
Função constante com imagem em 3.

Função identidade

Chama-se identidade a função f(x)=ax + b na qual \mathbf{a=1} e \mathbf{b=0}, de modo que \mathbf{f(x)=x}.

Para a função identidade, têm-se, para todo valor “n” do domínio, o mesmo valor “n” correspondente na imagem, ou seja, se x=n então y=n, para todo “n” pertencente ao conjunto dos Reais.

Como podemos observar na imagem abaixo, a função identidade é bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano.

Função identidade representada, no plano cartesiano, por uma reta que passa pela origem, com inclinação de 45º em relação ao eixo x
Função identidade y=x.

Função linear

Muito parecida com a função identidade, a função linear também possui \mathbf{b=0}, sendo dada pela lei de formação “\mathbf{f(x)=ax} em que “a” pertence aos Reais não nulos (a\neq0).

Exemplo:

A função f(x)=2x é linear e podemos observar seu gráfico abaixo:

Função linear representada, no plano cartesiano, por uma reta com inclinação de 63º em relação ao eixo x
Função linear y=2x.

Perceba que a função linear, assim como a função identidade, também cruza a origem. Porém, não necessariamente, y=x, uma vez que o parâmetro “a” pode ser diferente de 1.

Função afim

Chama-se de função afim toda função que obedece a lei de formação \mathbf{f(x)=ax+b}, , com \mathbf{a \neq 0}, onde “a” e “b” pertencem aos números reais, “a” é o coeficiente da incógnita “x” e “b” é o termo independente da função.

Exemplo:

y=3x+4 é uma função afim e podemos observar sua representação no gráfico abaixo:

Função identidade representada, no plano cartesiano, por uma reta que cruza os pontos (0,4) e (-3/4, 0)
Função linear y=3x+4.

Raiz da função afim:

Para qualquer uma das funções apresentadas até o momento, chama-se raiz o valor da incógnita quando \mathbf{y=0} ou \mathbf{f(x)=0}, tal que o número máximo de raízes de uma função está diretamente ligado ao grau da função (maior expoente da incógnita). Assim, a função afim irá sempre possuir somente uma raiz.

Para encontrar a raiz, pela definição, teremos que resolver a seguinte equação: \mathbf{ax+b=0}. Assim, x=-b/a. Por isso, a raiz de uma função do primeiro grau será sempre um ponto R(-b/a,0) que define o local em que a reta (função afim) corta o eixo Ox (eixo das abscissas).

Exemplo: Encontrar as raízes da função \mathbf{f(x)=2x+4}.

Para encontrar a raiz da função f(x)=2x+4, precisamos resolver a equação 2x+4=0:

2x+4=0

2x=-4

x=-2

Pode-se também recorrer à fórmula x=-b/a=-4/2=-2.

Assim, a raiz da função é -2 e o ponto em que a função corta o eixo Ox é R(-2,0).

Função identidade representada, no plano cartesiano, por uma reta que cruza os pontos (0,4) e (-2, 0)
Função linear y=2x+4.

Coeficiente linear da função afim

O coeficiente linear da função afim é o termo independente “b” da função f(x)=ax+ b e este determina o ponto P em que a função (reta) corta o eixo Oy (eixo das ordenadas). P é dado por P(0,b).

Exemplo: Encontrar o ponto P em que a reta da função \mathbf{f(x)=2x+4} corta o eixo y.

Dada a função f(x)=2x+4, o ponto P, em que a reta corta o eixo Ou, é encontrado fazendo x=0 na função f(x), de forma que P terá coordenadas (0,b). Precisamos, portanto, determinar “b”. Substituindo x= 0 na função:

f(0)=2.0+4

f(0)=4.

Mas f(0)=b, logo b = 4 e P(0,4).

Assim, 4 é o coeficiente linear de f.

Exemplo 2: Determinar o coeficiente linear de \mathbf{s(t)=1,5t+0,13}.

Primeiramente devemos observar que s(t) é equivalente a f(x) e t é equivalente a x. Assim, o coeficiente linear será encontrado igualando x a zero ou, nesse caso, t=0:

S(0)=1,5\times0+0,13

S(0) = 0,13

Assim 0,13 é o coeficiente linear.

Coeficiente angular da função afim

O coeficiente angular da função afim, também chamado de taxa de variação, por fornecer a que taxa y varia em relação a x, será sempre igual ao coeficiente “a” que multiplica a incógnita x.

O coeficiente angular pode ser calculado com o uso de dois pontos pertencentes à reta que caracteriza a função. Para isso, iremos calcular a variação das coordenadas em y entre os dois pontos dividida pela variação das coordenadas em x, como no exemplo abaixo:

Exemplo:

No gráfico abaixo, destacamos dois pontos: P1 de coordenadas (x_{1},y_{1}) e P2 de coordenadas (x_{2},y_{2}).

Função identidade representada, no plano cartesiano, por uma reta que cruza os pontos (x1,y1) e (x2, y2)
Função afim com dois pontos conhecidos.

Assim, temos que a variação das coordenadas em y dividida pela variação das coordenadas em x é:

Pela definição de função afim, sabemos que y_{2} = ax_{2} + b e y_{1} = ax_{1} + b, então:

Portanto a=\frac{\Delta y}{\Delta x} e f(x)=ax+b é equivalente a f(x) = \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot x + b.

Vale ressaltar que para a>0, a função será estritamente crescente e para a<0, será estritamente decrescente, conforme ilustrado nos gráficos abaixo.

À esquerda, função afim, crescente, com coeficiente angular maior do que zero. À direita, função afim, decrescente, com coeficiente angular menor do que zero
Crescimento ou decrescimento da função, dependendo do coeficiente angular.

Construção de gráfico

Sendo a função afim uma reta, podemos defini-la graficamente apenas por dois pontos quaisquer pertencentes à função.

Para isso, escolhendo o ponto R(-b/a,0), a raiz onde a função corta o eixo x, e P(0,b), onde a função corta o eixo y, facilmente definiremos quaisquer funções afim.

Exemplo:

Dada a função y=2x+4, primeiramente iremos calcular a raiz, ou seja, resolver a equação 2x+4=0;

Assim, x=-4/2=-2 e R(0,-2);

Pela definição de coeficiente linear, sabemos que a reta cortará Oy em P(0,b) que no caso será P(0,4);

Por fim, dados dois pontos P e R pertencentes à função, basta determinar a reta que passa por esses e a função será, consequentemente, esboçada:

Função identidade representada, no plano cartesiano, por uma reta que cruza os pontos (0,4) e (-2, 0)
Função linear y=2x+4.

Como a=2>0, também podemos observar que a função é estritamente crescente.

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