Função afim

A função afim, também conhecida como “função do primeiro grau”, é aquela na qual o maior expoente da incógnita é 1. A função afim possui características particulares, que a definem, como sua raiz, coeficientes linear e angular e sua representação por meio de uma reta no plano cartesiano.

Função constante

A função será uma função constante se, e somente se, . Desta forma, a função resultante será , ou seja, uma função que independe da incógnita.

Assim sendo, para a função constante, a imagem sempre será o termo independente “b”.

Exemplo:

Observe o gráfico da função constante :

Função identidade

Chama-se identidade a função na qual e , de modo que .

Para a função identidade, têm-se, para todo valor “n” do domínio, o mesmo valor “n” correspondente na imagem, ou seja, se então , para todo “n” pertencente ao conjunto dos Reais.

Como podemos observar na imagem abaixo, a função identidade é bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano.

Função linear

Muito parecida com a função identidade, a função linear também possui , sendo dada pela lei de formação “” em que “a” pertence aos Reais não nulos .

Exemplo:

A função é linear e podemos observar seu gráfico abaixo:

Perceba que a função linear, assim como a função identidade, também cruza a origem. Porém, não necessariamente, , uma vez que o parâmetro “a” pode ser diferente de 1.

Função afim

Chama-se de função afim toda função que obedece a lei de formação , , com , onde “a” e “b” pertencem aos números reais, “a” é o coeficiente da incógnita “x” e “b” é o termo independente da função.

Exemplo:

é uma função afim e podemos observar sua representação no gráfico abaixo:

Raiz da função afim:

Para qualquer uma das funções apresentadas até o momento, chama-se raiz o valor da incógnita quando ou , tal que o número máximo de raízes de uma função está diretamente ligado ao grau da função (maior expoente da incógnita). Assim, a função afim irá sempre possuir somente uma raiz.

Para encontrar a raiz, pela definição, teremos que resolver a seguinte equação: . Assim, . Por isso, a raiz de uma função do primeiro grau será sempre um ponto que define o local em que a reta (função afim) corta o eixo Ox (eixo das abscissas).

Exemplo: Encontrar as raízes da função .

Para encontrar a raiz da função , precisamos resolver a equação :

Pode-se também recorrer à fórmula .

Assim, a raiz da função é e o ponto em que a função corta o eixo Ox é .

Coeficiente linear da função afim

O coeficiente linear da função afim é o termo independente “b” da função e este determina o ponto P em que a função (reta) corta o eixo Oy (eixo das ordenadas). P é dado por .

Exemplo: Encontrar o ponto P em que a reta da função corta o eixo y.

Dada a função , o ponto P, em que a reta corta o eixo Ou, é encontrado fazendo na função , de forma que P terá coordenadas . Precisamos, portanto, determinar “b”. Substituindo na função:

.

Mas , logo e .

Assim, 4 é o coeficiente linear de f.

Exemplo 2: Determinar o coeficiente linear de .

Primeiramente devemos observar que é equivalente a e t é equivalente a x. Assim, o coeficiente linear será encontrado igualando x a zero ou, nesse caso, :

Assim 0,13 é o coeficiente linear.

Coeficiente angular da função afim

O coeficiente angular da função afim, também chamado de taxa de variação, por fornecer a que taxa y varia em relação a x, será sempre igual ao coeficiente “a” que multiplica a incógnita x.

O coeficiente angular pode ser calculado com o uso de dois pontos pertencentes à reta que caracteriza a função. Para isso, iremos calcular a variação das coordenadas em y entre os dois pontos dividida pela variação das coordenadas em x, como no exemplo abaixo:

Exemplo:

No gráfico abaixo, destacamos dois pontos: P1 de coordenadas e P2 de coordenadas .

Assim, temos que a variação das coordenadas em y dividida pela variação das coordenadas em x é:

Pela definição de função afim, sabemos que e , então:

Portanto e é equivalente a .

Vale ressaltar que para , a função será estritamente crescente e para , será estritamente decrescente, conforme ilustrado nos gráficos abaixo.

Construção de gráfico

Sendo a função afim uma reta, podemos defini-la graficamente apenas por dois pontos quaisquer pertencentes à função.

Para isso, escolhendo o ponto , a raiz onde a função corta o eixo x, e , onde a função corta o eixo y, facilmente definiremos quaisquer funções afim.

Exemplo:

Dada a função , primeiramente iremos calcular a raiz, ou seja, resolver a equação ;

Assim, e ;

Pela definição de coeficiente linear, sabemos que a reta cortará Oy em que no caso será ;

Por fim, dados dois pontos P e R pertencentes à função, basta determinar a reta que passa por esses e a função será, consequentemente, esboçada:

Como , também podemos observar que a função é estritamente crescente.