O que você precisa estudar hoje?
A função afim, também conhecida como “função do primeiro grau”, é aquela na qual o maior expoente da incógnita é 1. A função afim possui características particulares, que a definem, como sua raiz, coeficientes linear e angular e sua representação por meio de uma reta no plano cartesiano.
Função constante
A função será uma função constante se, e somente se,
. Desta forma, a função resultante será
, ou seja, uma função que independe da incógnita.
Assim sendo, para a função constante, a imagem sempre será o termo independente “b”.
Exemplo:
Observe o gráfico da função constante :
Função identidade
Chama-se identidade a função na qual
e
, de modo que
.
Para a função identidade, têm-se, para todo valor “n” do domínio, o mesmo valor “n” correspondente na imagem, ou seja, se então
, para todo “n” pertencente ao conjunto dos Reais.
Como podemos observar na imagem abaixo, a função identidade é bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano.
Função linear
Muito parecida com a função identidade, a função linear também possui , sendo dada pela lei de formação “
” em que “a” pertence aos Reais não nulos
.
Exemplo:
A função é linear e podemos observar seu gráfico abaixo:
Perceba que a função linear, assim como a função identidade, também cruza a origem. Porém, não necessariamente, , uma vez que o parâmetro “a” pode ser diferente de 1.
Função afim
Chama-se de função afim toda função que obedece a lei de formação , , com
, onde “a” e “b” pertencem aos números reais, “a” é o coeficiente da incógnita “x” e “b” é o termo independente da função.
Exemplo:
é uma função afim e podemos observar sua representação no gráfico abaixo:
Raiz da função afim:
Para qualquer uma das funções apresentadas até o momento, chama-se raiz o valor da incógnita quando ou
, tal que o número máximo de raízes de uma função está diretamente ligado ao grau da função (maior expoente da incógnita). Assim, a função afim irá sempre possuir somente uma raiz.
Para encontrar a raiz, pela definição, teremos que resolver a seguinte equação: . Assim,
. Por isso, a raiz de uma função do primeiro grau será sempre um ponto
que define o local em que a reta (função afim) corta o eixo Ox (eixo das abscissas).
Exemplo: Encontrar as raízes da função .
Para encontrar a raiz da função , precisamos resolver a equação
:
Pode-se também recorrer à fórmula .
Assim, a raiz da função é e o ponto em que a função corta o eixo Ox é
.
Coeficiente linear da função afim
O coeficiente linear da função afim é o termo independente “b” da função e este determina o ponto P em que a função (reta) corta o eixo Oy (eixo das ordenadas). P é dado por
.
Exemplo: Encontrar o ponto P em que a reta da função corta o eixo y.
Dada a função , o ponto P, em que a reta corta o eixo Ou, é encontrado fazendo
na função
, de forma que P terá coordenadas
. Precisamos, portanto, determinar “b”. Substituindo
na função:
.
Mas , logo
e
.
Assim, 4 é o coeficiente linear de f.
Exemplo 2: Determinar o coeficiente linear de .
Primeiramente devemos observar que é equivalente a
e t é equivalente a x. Assim, o coeficiente linear será encontrado igualando x a zero ou, nesse caso,
:
Assim 0,13 é o coeficiente linear.
Coeficiente angular da função afim
O coeficiente angular da função afim, também chamado de taxa de variação, por fornecer a que taxa y varia em relação a x, será sempre igual ao coeficiente “a” que multiplica a incógnita x.
O coeficiente angular pode ser calculado com o uso de dois pontos pertencentes à reta que caracteriza a função. Para isso, iremos calcular a variação das coordenadas em y entre os dois pontos dividida pela variação das coordenadas em x, como no exemplo abaixo:
Exemplo:
No gráfico abaixo, destacamos dois pontos: P1 de coordenadas e P2 de coordenadas
.
Assim, temos que a variação das coordenadas em y dividida pela variação das coordenadas em x é:
Pela definição de função afim, sabemos que e
, então:
Portanto e
é equivalente a
.
Vale ressaltar que para , a função será estritamente crescente e para
, será estritamente decrescente, conforme ilustrado nos gráficos abaixo.
Construção de gráfico
Sendo a função afim uma reta, podemos defini-la graficamente apenas por dois pontos quaisquer pertencentes à função.
Para isso, escolhendo o ponto , a raiz onde a função corta o eixo x, e
, onde a função corta o eixo y, facilmente definiremos quaisquer funções afim.
Exemplo:
Dada a função , primeiramente iremos calcular a raiz, ou seja, resolver a equação
;
Assim, e
;
Pela definição de coeficiente linear, sabemos que a reta cortará Oy em que no caso será
;
Por fim, dados dois pontos P e R pertencentes à função, basta determinar a reta que passa por esses e a função será, consequentemente, esboçada:
Como , também podemos observar que a função é estritamente crescente.
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