Função quadrática

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Função quadrática, também conhecida como função do segundo grau é a função dada por uma função f, tal que f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, com lei de formação f(x)=ax^{2}+bx+c.

Tal função, assim como a função afim, pode ser representada graficamente e seu comportamento gráfico é bem característico, fazendo com que um gráfico de uma função quadrática seja facilmente identificado. O gráfico de uma função do segundo grau é caracterizado por uma parábola e a utilidade dessa curva matemática pode se estender desde os estudos de comportamentos de crescimento, quanto para a forma de antenas parabólicas.

Definição de função quadrática

A função quadrática, também conhecida como função do 2° grau, é definida, como citado anteriormente, por uma função que parte dos Reais para os Reais com um comportamento regido pela lei de formação \mathbf{f(x)=ax^{2}+bx+c}, em que o coeficiente “a” não pode ser nulo. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo:

A função f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-x+9 é uma função quadrática, uma vez que a = 1 \neq 0;

Exemplo:

S(t)=-2t^{2}+3 é, também, uma função quadrática, uma vez que a = -2 \neq 0, ainda que b=0;

Exemplo:

y=90x^{2}+2x também é função quadrática, uma vez que a =90 \neq 0, ainda que c=0.

Raízes da função quadrática

Dada uma função do segundo grau f, as raízes da função serão os pontos em que a curva gráfica irá cortar o eixo das abscissas (eixo Ox). As raízes da função quadrática também podem ser chamadas de zeros da função.

Vale a observação de que tal definição também era válida para a função afim, mas, diferentemente dessa, a função quadrática poderá conter até dois pontos que cortem o eixo Ox, em que devemos dar ênfase ao “até” dois pontos. Como veremos na seção seguinte, a função quadrática poderá cortar o eixo Ox em um, dois ou, ainda, em nenhum ponto.

Três gráficos com formato de parábola. Da esquerda para a direita: a parábola intercepta o eixo x em dois pontos; a parábola intercepta o eixo x em um ponto; a parábola não intercepta o eixo x.
Possibilidades para as raízes da função quadrática.

Assim, os pontos onde a curva da função corta o eixo Ox são os pontos R_{1}(x',0) e R_{2}(x'',0), em que x’ e x” são as raízes cujos valores são determinados à partir do pressuposto f(x)=0.

Ao decorrer do desenvolvimento da matemática, algumas formas foram sendo propostas para a resolução das equações (ax^{2}+bx+c=0) que determinassem as raízes da função quadrática derivadas do pressuposto f(x)=0, citado anteriormente. Vejamos a seguir algumas destas formas.

Fórmula de Bhaskara

fórmula de Bhaskara, ou método resolutivo, é definida por duas operações envolvendo os coeficientes da equação do segundo grau. Cada uma das duas operações resulta em um possível valor para a raiz:

x' = \frac{-b+ \sqrt{(b^{2}-4ac)}}{2a}

Em que “a”,”b” e “c” são os coeficientes da equação e x’ é uma possível solução da equação ax^{2}+bx+c=0 e, portanto, uma possível raiz da função quadrática.

x'' = \frac{-b- \sqrt{(b^{2}-4ac)}}{2a}

Em que “a”, ”b” e “c” são os coeficientes da equação e x’’ é outra possível solução da equação ax^{2}+bx+c=0 e, portanto, uma segunda possível raiz da função quadrática.

Perceba que a diferença entre a primeira e a segunda fórmula é apenas o sinal da raiz quadrada, no numerador. Podemos, então, condensar a fórmula da seguinte maneira:

x = \frac{-b \pm \sqrt{(b^{2}-4ac)}}{2a}

Deste modo, faremos uma operação para o sinal da adição e outra para a subtração.

Ainda, podemos simplificar a fórmula de Bhaskara definindo o parâmetro \mathbf{\Delta} (delta), também chamado de discriminante:

\Delta = b^{2} - 4 ac

x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Relação entre \mathbf{\Delta} e as raízes

O parâmetro \Delta é também chamado de discriminante, porque é seu valor que discrimina, distingue, o tipo de raízes que a função quadrática terá. Ou seja, dependendo do valor de \Delta, há diferentes tipos de as raízes:

Para \Delta > 0, teremos duas raízes reais distintas, ou seja, x’\mathbf{\neq} x”;

Para \Delta = 0, teremos duas raízes reais, porém iguais, ou seja, x’=x”. Como as raízes são iguais, de forma equivalente, podemos dizer que há apenas um resultado real, tal que a função toca o eixo x em apenas um ponto;

Para \Delta < 0não teremos raízes reais (que pertencem ao conjunto dos números reais), pois pelas propriedades de raiz quadrada, não existe valor real que satisfaça a raiz quadrada de um valor negativo.

Três gráficos com formato de parábola. Da esquerda para a direita: a parábola intercepta o eixo x em dois pontos; a parábola intercepta o eixo x em um ponto; a parábola não intercepta o eixo x.
Possibilidades para as raízes da função quadrática, dependendo do discriminante.

Exemplo:

Para encontrar as raízes da função f(x)=x^{2}+8x-9, temos primeiramente que assumir x^{2}+8x-9=0 e calcular a fórmula de Bhaskara;

\Delta = b^{2} - 4ac

\Delta = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)

\Delta = 64 + 36

\Delta = 100

Assim,x=\frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2};

x = (- 8 \pm 10)/2

Encontramos a primeira raiz fazendo a operação com o sinal positivo:

x' = (- 8 + 10)/2

x' = 1

Encontramos a segunda raiz fazendo a operação com o sinal negativo:

x'' = (- 8 - 10)/2

x'' = - 9.

Relação entre coeficientes e raízes

Podemos encontrar as raízes de uma função quadrática também pelo método da soma e produto. Esse método consiste em enxergar a equação do segundo grau (f(x)=0) da seguinte maneira:

x^{2}-sx+p=0, onde s=soma das raízes e p=produto das raízes.

Perceba que para utilizar este método, \mathbf{a = 1}. Caso “a” não seja igual a 1, basta dividir toda a equação por “a” para chegar nesse formato. A partir daqui, devemos encontrar dois números que somados dão s e, simultaneamente, multiplicados dão p. Esses dois números são as raízes da função quadrática.

Exemplo: Determinar as raízes da função quadrática \mathbf{f(x)=x²+5x+6}, pelo método da soma e produto.

x^{2}+5x+6=0 à x^{2}-(-5)x+6=0 à s=-5 e p=6. Os números procurados são -2 e -3 pois:

s=-2-3=-5 e p=(-2) \cdot (-3)=6, portanto as raízes da função são -2 e -3.

Exemplo: Sabendo que as raízes de uma função quadrática são x’=1 e x’’=2, determine qual é essa função.

Soma das raízes: s = 1 + 2 = 3;

Produto das raízes: p = 1\times 2 = 2;

Equação do segundo grau: x^{2}-sx+p=0 \rightarrow x^{2}-3x+2=0

Função do segundo grau: f(x)=x^{2}-3x+2=0

Fatoração do trinômio do segundo grau

Outro importante método para se encontrar as raízes da função quadrática é a fatoração do trinômio do segundo grau, no qual se deve transformar o trinômio em um produto de dois fatores do primeiro grau.
Dada a equação característica para se encontrar as raízes, ax^{2}+bx+c=0, tal que a \neq 0, podemos colocar o termo “a” em evidência de maneira que se obtém:

a \left(x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right) = 0

E, portanto,

a \left[x^{2} - \left(-\frac{b}{a} \right) x + \frac{c}{a} \right] = 0.

Mas, como vimos no método da soma e produto: s=-b/a=x'+x'' e p=c/a=x'.x'', então:

a[x^{2} - (x' + x")x+x'.x"] = 0

Fazendo a multiplicação distributiva:

a[x.x - x.x' - x.x" + x'.x"] = 0

Rearranjando os termos:

a[x,x - x.x" + x' . x" - x.x'] = 0

Colocando x e x’ em evidência:

a[x(x-x") - x'(x-x")] = 0

Colocando (x-x”) em evidência:

a.(x-x').(x-x") = 0

Assim, podemos fatorar \mathbf{ax^{2}+bc+c = a(x-x').(x-x'')}.

Forma canônica

Outra maneira que se pode representar a função do segundo grau é em sua forma canônica, uma forma muito relevante quanto à demonstração de muitas propriedades importantes.

Como visto anteriormente, podemos denotar a função do 2° grau por:

f(x) = a \left(x^{2} +\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right)

Se somarmos e subtrairmos, ao mesmo tempo, o parâmetro \frac{b^{2}}{4a^{2}}:

a \left[x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}+ \frac{c}{a} \right] =

a \left[\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \right], uma vez que x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4a^{2}} é um quadrado perfeito.

Portanto têm-se que:

a \left[\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{\Delta}{4a^{2}} \right] = a \left[\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} \right] - \frac{\Delta}{4a}

E:

ax^{2}+bx+c = a \left[\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} \right] - \frac{\Delta}{4a}.

Gráfico da função quadrática:

A curva da função quadrática é denominada parábola e algumas propriedades notáveis da relação da parábola com sua devida lei de formação podem ser listadas:

1) Assim como na função afim, a parábola sempre cortará o eixo das ordenadas no ponto P(0,c) em que “c” é o termo independente de f. Ou seja, para f(x)=ax^{2}+bx+c, quando x=0, temos f(0)=c.

Gráfico de uma parábola que intercepta o eixo y em um ponto genérico c.
Parábola cortando o eixo das ordenadas.

2) Toda função quadrática com coeficiente “a” negativo possui concavidade (abertura) voltada para baixo e toda função quadrática com coeficiente “a” positivo possui concavidade voltada para cima.

Dois gráficos de parábolas. Da esquerda para a direita, parábola com concavidade voltada para cima; parábola com concavidade voltada para baixo.
Concavidade da parábola dependendo do valor de “a”.

3) Como já vimos, a parábola pode cortar o eixo das abscissas em dois pontos quando \Delta > 0 e f possui duas raízes reais x’ e x”; em um único ponto, quando \Delta = 0 e consequentemente x’=x”, ou; em nenhum ponto quando \Delta < 0, pois não existirão soluções reais para as raízes:

Três gráficos com formato de parábola. Da esquerda para a direita: a parábola intercepta o eixo x em dois pontos; a parábola intercepta o eixo x em um ponto; a parábola não intercepta o eixo x.
Parábolas cortando eixo das abscissas, ou não, dependo de suas raízes e discriminantes.

4) Toda parábola é uma curva simétrica com pontos simétricos espelhados sob um eixo de simetria paralelo a Oy.

Gráfico de parábola com destaque para sua simetria.
Parábola com eixo de simetria paralelo a Oy.

A figura abaixo resume as possibilidades para construção do gráfico da função de 2º grau.

Tabela das possibilidades de casos para uma função quadrática.
Tabela das possibilidades de casos para uma função quadrática.

Vértice

Chama-se vértice da função quadrática o ponto V que pertence à parábola e que se encontra sobre o eixo de simetria desta, a partir do qual há uma mudança no crescimento da função, ou seja, para funções com concavidade para cima, os valores de f(x) passam a ser crescentes após V e para funções com concavidade para baixo os valores de f(x) passam a ser decrescentes após V.

Podemos calcular as coordenadas do vértice pela fórmula V \left(- \frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a} \right), onde “a” e “b” são os coeficientes da função f(x)=ax^{2}+bx+c.

Gráfico de uma parábola com concavidade voltada para cima, com destaque para seu ponto de máximo, seu vértice.
Ponto V do vértice da função quadrática.

Construção do gráfico

Para a construção do gráfico da função quadrática, assim como na função afim, alguns pontos notáveis precisam ser determinados:

Primeiramente, dada a lei de formação da função, um ponto muito importante a ser determinado graficamente é o vértice, pois sobre o mesmo podemos representar o local do eixo de simetria da curva.

Podemos obter o vértice pela expressão no ponto V \left(- \frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a} \right).

Deve-se observar, também, o sinal do coeficiente “a” da função, uma vez que este determina para onde estará voltada a concavidade da parábola.

Outros dois pontos notáveis são os pontos (x’,0) e (x”,0) em que x’ e x” são as raízes da função e por estes a função corta o eixo Ox. No caso em que a função não possuir raízes reais, os pontos (x’,0) e (x”,0) não são utilizados.

Podemos encontrar as raízes pelos métodos resolutivos introduzidos nos tópicos acima.

Por fim, o ponto (0,c), ou seja, onde a curva corta o eixo Oy, com f(x)=0, deve ser destacado.

Com estes pontos a função pode ser representada graficamente.

Exemplo:

Para a função f(x)=x^{2}+5x+6:

O vértice será dado pelo ponto V(-5/2,-1/4);

O ponto em que f cortará o eixo Oy é dado por (0,6);

Por soma e produto temos que as raízes da função são -2 e -3 e, portanto os pontos (0,-2) e (0,-3) são onde a função corta o eixo Ox.

Gráfico de uma parábola que representa a função f(x)=x²+5x+6.
Representação gráfica da função f(x)=x²+5x+6.

Exemplo:

Para a função f(x)=-2x^{2}+3

O vértice será dado pelo ponto V (0,3);

O ponto em que f cortará o eixo Oy é dado por (0,3);

Pela fórmula de Baskhara as raízes função são + \sqrt{3}/\sqrt{2}  e - \sqrt{3}/\sqrt{2} e, portanto os pontos (0,+ \sqrt{3}/\sqrt{2}) e (0,- \sqrt{3}/\sqrt{2}) são onde a função corta o eixo Ox.

Gráfico de uma parábola que representa a função f(x)=-2x²+3
Representação gráfica da função f(x)=-2x²+3.

Análise de sinais

Para qualquer função, a análise de sinais é fundamental para compreender quando uma função é nula, positiva, ou negativa.

Para a função quadrática, f(x) é positivo quando a parábola está acima do eixo Ox do plano cartesiano e negativa quando a parábola está abaixo do eixo Ox. Vale notar que as raízes da função do segundo grau determinam o momento em que a curva vale zero em Oy.

Assim, de forma equivalente à função afim, devemos analisar o coeficiente “a” de f(x)=ax^{2}+bx+c, para começarmos o estudo dos sinais. Se a>0, a concavidade da função será voltada para cima e, se além disso, as raízes forem reais e distintas a parte da parábola que estiver entre as raízes será negativa e as partes que não estiverem entre as raízes serão positivas.

Gráfico de uma parábola com concavidade voltada para cima, com destaque para os intervalos em que a função assume valores positivos e negativos.
Função f com raízes reais distintas e a>0.

De mesma maneira, se a<0 e as raízes forem reais e distintas, a parábola terá concavidade voltada para baixo, a função será positiva entre as raízes e negativa fora desse intervalo.

Gráfico de uma parábola com concavidade voltada para baixo, com destaque para os intervalos em que a função assume valores positivos e negativos.
Função f com raízes reais distintas e a<0.

Por outro lado, se a função possuir apenas um resultado real para suas raízes, ou nenhum resultado real, a função irá assumirá valores apenas positivos ou negativos, dependendo de “a”: Se \mathbf{a>0}, a função terá valores positivos apenas e, se \mathbf{a<0}, possuirá valores negativos apenas.

Gráfico de uma parábola com concavidade voltada para cima, com destaque para os intervalos em que a função assume valores positivos.
Função f com a>0 e apenas uma raiz real, ou nenhuma raiz real.
Gráfico de uma parábola com concavidade voltada para cima, com destaque para os intervalos em que a função assume valores negativos.
Função f com a<0 e apenas uma raiz real, ou nenhuma raiz real.
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