Operações básicas da matemática

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Na matemática existem quatro operações básicas que são fundamentais para o desenvolvimento de qualquer cálculo algébrico que realizarmos. Estas operações são: A soma, a subtração, a multiplicação e a divisão.

Com tais operações podemos desenvolver cálculos diversos e expressar, através destas, o raciocínio que queremos expor.

Adição

Na operação da soma de dois ou mais números, devemos nos prender ao conceito de que todo número possui valores inferiores e superiores. Assim, a operação de soma de dois ou mais números pode gerar valores superiores aos valores envolvidos na operação.

Símbolo “+”

O símbolo “+”, na matemática, representa a junção entre elementos. Assim, o símbolo nos dá a noção de adição, uma vez que, pelo sinal, pode-se adicionar determinada quantidade à outra.

Exemplos:

a+b=c , de forma que c é superior a a e superior a b, e a operação se dá por a unidades adicionadas a b unidades sequentes.

5+4=9, de forma que é superior a 5 e superior a 4, e a operação se dá por 5 unidades adicionadas a 4 unidades sequentes.

Elemento neutro

Na operação de soma, temos o zero (0) como elemento neutro, ou seja, o elemento cuja utilização em operações binárias não causa alteração na identidade do elemento ao qual o neutro foi adicionado. Assim, sendo zero a representação do “nada”, um número adicionado a nada resulta no próprio número.

Exemplos:

a+0=a;

-5+0=-5.

Propriedade comutativa da soma

A propriedade comutativa da soma define que a ordem pela qual as parcelas da operação estão distribuídas não irá alterar o resultado da operação.

Exemplos:

a+b é equivalente a b+a

5+6 é equivalente a 6+5, pois independente da distribuição das parcelas, o resultado se mantém 11.

8+10 é equivalente a 10+8, pois o resultado se mantém 18.

Propriedade associativa

Na adição, o modo em que se agrupa as parcelas não altera o resultado da soma. Com isso, na adição de três parcelas, por exemplo, podemos associar as operações de maneiras distintas, sem alterar a solução.

Exemplos:

(a+b)+c é equivalente a a+(b+c)

(2+3)+8 é equivalente a 2+(3+8)

(7+6)+(5+4) é equivalente a 7+(6+5)+4

Subtração

Análoga à soma, a subtração de dois ou mais números se dá pela retirada de unidades de um determinado número. Assumido nossa análise para os números Reais, todos os valores possuem valores inferiores e valores superiores.

Símbolo “–”

O símbolo “–“, na matemática, representa a retirada de uma determinada quantidade de outra determinada quantidade. Sendo o símbolo, então, responsável por subtrair quantias.

Exemplo:

7-6=1

10-8=2

3-3=0

Elemento neutro da subtração

Na operação de subtração, temos o zero (0) como elemento neutro, uma vez que, sendo zero a representação do “nada”, um número que subtraia nada resulta no próprio número.

Exemplo:

a-0=a

Propriedade comutativa

A subtração não possui propriedade comutativa, uma vez que um valor n subtraído de um valor m, difere da subtração de m de um valor n.

Exemplos:

m-n\neq n-m;

3-2\neq 2-3;

4-3 \neq 3-4.

Propriedade associativa

A subtração não possui propriedade associativa, de modo que (a-b)-c \neq a-(b-c).

Exemplo:

(5-3)-1=2-1=1 e

5-(3-1)=5-2=3.

Portanto (5-3)-1 \neq 5-3(3-1).

Multiplicação

A multiplicação de dois números m e n pode ser dada pela soma de m por m, n vezes, de modo que:

m.n=m+m+m+m+\hspace{3}...\hspace{3}+m, em uma soma que contenha n números m.

Vale ressaltar que o símbolo para multiplicação pode ser “x” ou, o mais utilizado, “.” (um ponto).

Elemento neutro da multiplicação

O elemento neutro da multiplicação, diferente da adição e subtração, será sempre o número 1, pois qualquer valor multiplicado por 1 irá resultar no próprio valor, para qualquer caso.

Exemplos:

a.1=1

-2.1=-2

1.1=1

Propriedade distributiva

Se uma operação matemática possuir um elemento multiplicado a uma soma ou subtração, podemos utilizar da propriedade distributiva para efetuar esta conta, de maneira que o elemento multiplicador irá multiplicar cada elemento da soma ou subtração, para depois efetuar a adição ou subtração.

Exemplos:

a.(b+c)=a.b+a.c;

a.(b-a)=a.b-a.c;

5.(2+2)=5.2+5.2=10+10=20;

12.(a+b)=12.a+12.b

Para o caso em que a operação conter a multiplicação de duas somas ou subtração, a propriedade distributiva se mantém, sendo que cada elemento de uma soma ou subtração irá multiplicar cada elemento da outra, e assim, efetuada a multiplicação distributiva, devemos efetuar a soma ou subtração dos elementos iguais.

Exemplos:

(a+b).(c+d)=a.c+a.d+b.c+b.d;

    \begin{flalign*} &(x+2).(x+2)=x.x+x.2+2.x+2.2=x^2+2.x+2.x+4=x^2+4.x+4& \end{flalign*}

(2-1).(4-3)=2.4-2.3-1.4-1.(-3).

Propriedade comutativa da multiplicação

A multiplicação, assim como a soma, possui propriedade comutativa pois a ordem dos fatores não altera o produto (resultado).

Exemplo:

(3.4) = (4.3) = 12;

(5.1) = (1.5) = 5.

Propriedade associativa da multiplicação

A associação dos fatores de uma multiplicação não altera o resultado da operação.

Exemplos:

(a.b).c = a.(b.c);

(5.2).3 = 5.(2.3) = 30.

Elemento nulo da multiplicação

Na multiplicação, o zero é elemento nulo da operação, pois qualquer valor n multiplicado por zero indica uma soma que contenha n valores zero.

Exemplo:

a.0 = 0+0+0+0+0+\hspace{3}...\hspace{3}+0, contendo a valores zero na soma, resultando em 0, pois 0+0=0;

2.0=0;

999.0=0.

Divisão

A divisão entre dois ou mais números é a operação que analisa quantos valores n cabem em um valor m.

A divisão pode ser representada pelos símbolos “÷” e pela barra na forma  (a dividido por b).

Exemplos:

a \div b = \frac{a}{b};

4 \div 2 = \frac{4}{2} = 2.

Vale ressaltar que na representação da divisão por barra, obtemos uma fração e, assim, para a/b, temos o elemento a como numerador da fração e b como denominador.

Elemento neutro da divisão

O número 1 é elemento neutro da divisão de modo que um valor real a, dividido por 1, resultará sempre no próprio a.

Exemplos:

a \div 1 = \frac{a}{1} = a;

6 \div 1 = \frac{6}{1} = 6.

Vale ressaltar que, na divisão, sempre que dividirmos um valor real n, diferente de zero, por ele mesmo, o resultado será 1.

Exemplos:

a \div a = \frac{a}{a} = 1;

a \div b = \frac{a}{b};

2 \div 2 = \frac{2}{2} = 1.

Indeterminações

Na divisão existem duas situações que geram indeterminações matemática, ou seja, operações com respostas que não podem ser calculadas.

Zero no denominador

Quando dividimos qualquer valor real diferente de zero, por zero, obtemos uma indeterminação, uma vez que não é possível determinar um valor sendo dividido em partes de “nada”, uma vez que o zero representa o “nada”.

Exemplos:

\frac{a}{0} é uma indeterminação;

\frac{1}{0} também é uma indeterminação.

Zero sobre zero

Quando dividimos zero por zero também é gerada uma indeterminação, uma vez que não se pode mensurar a operação de “nada” por “nada”.

\frac{0}{0} é uma indeterminação.

Propriedade comutativa da divisão

Na divisão não podemos aplicar a propriedade comutativa uma vez que na operação de dois números reais distintos, diferentes de zero, as unidades de um não se distribuem da mesma forma nas unidades do outro.

Exemplos:

a \div b \neq b \div a;

4 \div 2 \neq 2 \div 4;

\frac{10}{2} \neq \frac{2}{10}.

Propriedade associativa da divisão

Na divisão não podemos aplicar a propriedade associativa entre três ou mais fatores, uma vez que a operação pode alterar o resultado final dependendo da ordem em que as divisões entre os fatores são efetuadas.

Exemplos:

(a \div b) \div c \neq a \div (b \div c);

(8 \div 2) \div 4 \neq 8 \div (2 \div 4).

Algoritmo da divisão

O algoritmo da divisão é um método utilizado para se dividir um número (dividendo) por outro (divisor), gerando  um quociente e sobrando um resto.

Algoritmo da divisão
Algoritmo da divisão

Jogo de sinais

Nas operações de divisão e multiplicação, por convenção, é proposto que as operações de elementos com sinais diferentes (+ e –) resultem em um valor com sinal negativo, enquanto as operações entre elementos com sinais iguais resultam em valores positivos, gerando, então, para a multiplicação e divisão, o seguinte:

+ com + = +

– com – = +

+ com – = –

– com + = –

Operações mistas

Além das operações vistas, podemos efetuar contas que misturem operações distintas.

Adição e subtração

Para operações que envolvam adição e subtração, a ordem de como o cálculo será efetuado não irá importar. Assim, podemos efetuar a operação de maneira livre.

Exemplos:

- 5 + 3 - 1 = (- 5 + 3) - 1, ou

- 5 + 3 - 1 = - 5 + (3 - 1), ou

- 5 + 3 - 1 = (- 5 - 1) + 3;

- 90 + (- 3) + 60 = (- 90 + (- 3)) + 60, ou

- 90 + (- 3) + 60 = (- 90 + 60) - 3, ou

- 90 + (- 3) + 60 = (- 3 + 60) - 90.

Sendo os parênteses responsáveis por destacar qual operação será a primeira a ser efetuada.

Multiplicação e divisão

Para operações que envolvam multiplicação e divisão, a ordem pela qual os cálculos deverão ser efetuados será da esquerda para direita.

Exemplos:

2.4 \div 4 = (2.4) \div 4 = 8 \div 4 = 2;

8 \div 2.4 = (8 \div 2).4 = 4.4 = 16.

Todas as operações

Em operações que envolvam todas as operações anteriores, as operações de divisão e multiplicação terão prioridade sobre as de adição e subtração, valendo a regra que diz que a operação (entre divisão e multiplicação) que estiver mais à esquerda, terá prioridade máxima.

Exemplo:

    \begin{flalign*} &2 \div 2 + 4.5 - 9 = (2 \div 2) + (4.5) - 9 = 1 + 20 - 9 = 21 - 9 = 12.& \end{flalign*}

Operações com parênteses, chaves e colchetes

Em operações que envolvam parênteses, chaves e colchetes, resolvemos primeiramente as operações que estejam contidas em parênteses, após isso, as operações contidas em colchetes e, por fim, as operações contidas em chaves. Ausentes essas situações, as regras acima são cumpridas.

Exemplos:

    \begin{flalign*} &48\div[(3+4).6\div2+3]=48\div[7.6\div2+3]=48\div[42\div2+3]=48\div[21+3]=48\div24=2;& \end{flalign*}

    \begin{flalign*} &4.{4 + [2 + 2.(3 - 2).2]} = 4.{4 + [2 + 2.1.2]} = 4.{4 + [2 + 4]} = 4.{4 + 6} = 4.10 = 40.& \end{flalign*}

 

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