Inequação do primeiro grau

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Para entendermos o que é uma inequação do primeiro grau, primeiro devemos passar pelo princípio da tricotomia e pelo conceito de inequação.

Representação da inequação
Representação da inequação

Princípio da tricotomia

Na matemática, o princípio da tricotomia (também chamado de axioma da tricotomia) é uma propriedade dos números reais que diz para quaisquer valores a e b reais, uma das seguintes relações necessariamente ocorre:

a<b (a é menor que b);

a=b (a é igual a b);

a>b (a é maior que b).

A partir daqui podemos montar expressões algébricas que usam o princípio da tricotomia.

Inequação

Da mesma forma que a palavra “equação” remete à igualdade, “inequação” remete à desigualdade (não equação). A inequação procura valores de incógnita que sejam não iguais a uma determinada expressão matemática (utilizando o princípio da tricotomia). Ou seja, a inequação é uma sentença matemática aberta expressa por uma desigualdade. As desigualdades possíveis são as seguintes:

\rightarrow à diferente de;

> \rightarrow à maior que;

\rightarrow à maior ou igual a;

< \rightarrow à menor que;

\rightarrow à menor ou igual a.

Exemplos:

2x>7

5y+x^2<3

x+y \leq z

x \neq 4

Inequação do primeiro grau

Trataremos das inequações em sua forma mais simples: as de primeiro grau. Ou seja, a incógnita estudada estará sempre elevada à primeira potência.

Exemplo:

x+3 \leq 10 é uma inequação do primeiro grau pois a incógnita x está elevada à primeira potência (x=x^1).

Forma da inequação de primeiro grau

As formas possíveis da inequação do primeiro grau são as seguintes:

a.x+b \neq 0,

a.x+b > 0,

a.x+b \geq 0,

a.x+b<0,

a.x+b \leq 0

para a\in \mathbb{R}, b\in \mathbb{R}, a\neq0  e x representando a incógnita da inequação.

Exemplos:

2x+2\neq4, x=?

x+6<8, x=?

3x+1 \get 10, x=?

-x-6>-9, x=?

\frac{1}{2}x-5\leq 2, x=?

Resolver uma inequação do primeiro grau

Para resolver uma inequação do primeiro grau, ou seja, encontrar um conjunto de valores que satisfaçam a inequação, basta isolarmos a incógnita (geralmente, o x, y ou z ), através de manipulações algébricas, de modo que a deixemos sozinha em um lado da desigualdade. Assim o x que satisfazer a desigualdade tornará a inequação verdadeira. Vale ressaltar que a incógnita não possuirá um valor exato para a solução da operação em questão, mas irá assumir quaisquer valores que tornem a afirmação da qual ela pertence verdadeira.

Para isolarmos a incógnita, devemos operar como se estivéssemos operando uma equação. Mas agora temos de tomar cuidado quando as passagens envolvem multiplicação ou divisão: sempre que você “passar para o outro lado” um número negativo multiplicando ou dividindo, devemos inverter o sinal da desigualdade (só não precisa quando o sinal for \neq)

Exemplos:

3.x+7 \neq 10 \leftrightarrow 3.x \neq 10-7 \leftrightarrow

3.x \neq \frac{3}{3} \leftrightarrow x \neq 1,

portanto S=\{x\in \mathbb{R}/x \neq1\}

 

-2.x \neq 4 \leftrightarrow x \neq \frac{4}{-2} \leftrightarrow

x \neq -2, portanto S=\{x\in \mathbb{R}/x \neq -2\}

 

2y+2 \geq 6 \leftrightarrow 2.y \geq 6-2 \leftrightarrow

2.y \geq 4 \leftrightarrow y \geq \frac{4}{2} \leftrightarrow

y \geq 2, portanto S=\{x\in \mathbb{R}/x \geq -2\}

 

-3.y+1 \geq 13 \leftrightarrow 13-1 \leftrightarrow

-3y \geq 12 \leftrightarrow y \leq \frac{12}{-3} \leftrightarrow

y \leq -4, portanto S=\{x\in \mathbb{R}/x \leq -4\} (perceba a inversão do sinal de desigualdade).

 

Perceba como estamos descrevendo as soluções a partir de agora. Primeiro informamos a qual conjunto a incógnita pertence e depois apresentamos a desigualdade resposta. Em S=\{x\in \mathbb{R}/x \neq 1\} lemos: “x pertence aos reais tal que x é diferente de 1”.

Representação gráfica

As inequações, além de terem suas representações algébricas, têm também representações gráficas. Podemos representar suas soluções em segmentos de reta conforme desenhos exemplos abaixo:

Representações gráficas das inequações
Representações gráficas das inequações

Perceba que, para > e < usamos bolinha aberta no 1 e para ≥ e ≤ usamos bolinha fechada. A bolinha aberta indica que o 1 não está inserido no intervalo, mas sim os valores infinitamente próximos de 1. A bolinha fechada indica que o 1 está inserido no intervalo.

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