Potenciação

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Na matemática, a potenciação é a operação que representa a multiplicação de termos iguais. Assim, a potenciação, ou exponenciação, é utilizada para representar que um número está sendo multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Número “a” multiplicado por ele mesmo “n” vezes
Número “a” multiplicado por ele mesmo “n” vezes

Exemplos:

2.2.2.2=2^4

\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={(\frac{1}{2})}^3

Base da potenciação

Na operação matemática em questão, chamamos de base o número que está sendo elevado a determinado expoente. Ou seja, a base é o número o qual é multiplicado por ele mesmo quantas vezes o expoente indicar.

Exemplo:

75^{7} \rightarrow A base da operação proposta é o número  que carrega consigo o expoente .

Expoente da potenciação

O expoente é o valor numérico que indica a quantidade de vezes que a base se repete em multiplicação. O expoente se localiza na lateral superior direita da base.

Exemplo:

5^{99} \rightarrow O expoente da operação proposta é o número 99.

Potência

Chama-se potência o resultado da operação que envolve a base e o expoente, ou seja, o resultado da multiplicação da base por ela mesma n vezes, sendo n a quantidade de vezes que tal multiplicação deve ser efetuada, indicada pelo expoente.

Exemplos:

2^5=2.2.2.2.2=32 \rightarrow A potência é o número 32.

99^3=99.99.99=970299 \rightarrow A potência é o número 970299.

{(\frac{1}{3})}^4={(\frac{1}{3})}.{(\frac{1}{3})}.{(\frac{1}{3})}.{(\frac{1}{3})}={(\frac{1}{81})} \rightarrow A potência é o número \frac{1}{81}.

Relação entre o expoente e a base

O expoente da potenciação indica a quantidade de bases presentes no produto entre elas.  Assim, a operação 35, por exemplo, indica que teremos 5 bases valendo 3 em operação de multiplicação (3.3.3.3.3 = 35).

Essa relação indica que qualquer número, sozinho, na verdade está elevado a 1. Por exemplo, o número 3, ele sozinho aparece 1 vez, o que indica que há, implícito, um expoente valendo 1 (3 = 31).

Expoente 1

Na potenciação, qualquer valor numérico elevado ao expoente  resultará no próprio valor numérico.

Exemplos:

0,125^1=0,125

0^1=0

895^1=895

Expoente zero

Por definição, indica-se que todo número real a diferente de zero, elevado ao expoente 0, resulta em 1, de modo que

a^0=1, \forall \hspace{2}a \in \mathbb{R}^*.  Lê-se “a elevado a zero é igual a 1 para todo a real diferente de zero”.

Exemplos:

23^0=1

(-9)^0=1

w^0=1, desde\hspace{3}que\hspace{3}w\neq 0

Base 1

A potenciação de base 1 sempre resultará em 1, uma vez que a operação indica quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela mesma, e que 1 multiplicado por 1 resulta no próprio 1.

Exemplos:

1^0=1

1^{-9}=1

1^1=1

1^{12}=1

Bases iguais e expoentes diferentes

Em operações matemáticas que envolvem potenciação, quando as bases das operações forem iguais, tanto a divisão, quanto a multiplicação, podem ser resolvidas com certa facilidade.

Para a multiplicação de potências de bases iguais, pode-se sempre manter as bases e somar os expoentes, de modo que a base se conserve e somente o expoente se altere.

Exemplos:

1^3.1^6=1^{3+6}=1^9

5^{99}.5^4=5^{99+4}=5^{103}

4^3.4^{-2}=4^{3+(-2)}=4^1

f^4.f^{990}=f^{4+990}=f^{994}

Já para a divisão, a operação que envolva bases iguais pode ser dada pela conservação da base e a subtração dos expoentes.

Exemplos:

\frac{9^3}{9^2}=9^{3-2}=9^1

\frac{78^8}{78^9}=78^{8-9}=78^{-1}

\frac{q^3}{q^{-4}}=q^{3-(-4)}=q^7

Bases diferentes e expoentes iguais

Para multiplicar potências com bases diferentes, mas expoentes iguais, podemos juntar as bases e elevar uma vez só o expoente.

Exemplos:

3^2.4^2={(3.4)}^2

7^5.9^5={(7.9)}^5

2^4.{(\frac{3}{8})}^4=[2.{(\frac{3}{8})}]^4

De forma análoga, para a operação de divisão entre duas potências de bases diferentes, mas expoentes iguais, a operação pode ser escrita como a divisão das bases, elevada ao mesmo expoente.

Exemplos:

\frac{1^{66}}{3^{66}}={(\frac{1}{3})}^{66}

\frac{a^{2}}{b^{2}}={(\frac{a}{b})}^{2}

Potência da potência

Para o caso em que a operação a ser efetuada for uma potência da potência, pode-se escrever a operação como a base elevada à multiplicação dos expoentes.

Exemplos:

(2^2)^5=2^{2.5}=2^{10}

((a^2)^3)^{30}=a^{2.3.30}=a^{180}

Expoente negativo

No caso em que a potenciação conter um expoente negativo, a operação pode ser escrita como a inversa da base (\frac{1}{base}) elevada ao expoente com sinal positivo.

Exemplo.

2^{-2}=\frac{1}{2^2}

Frações com o expoente negativo

Para este caso, mantém-se a propriedade do expoente negativo, como no exemplo abaixo:

{(\frac{a}{b})^{-x}}=(\frac{1}{({\frac{a}{b})}^x})=(\frac{1}{\frac{a^x}{b^x}})=(\frac{1.b^x}{1.a^x})={(\frac{b}{a})}^x

Assim, para uma base em forma de fração elevada a um expoente negativo, basta inverter os termos da base (numerador e denominador), elevando a nova base ao expoente com sinal positivo.

Exemplos:

{(\frac{3}{5})}^{-3}={(\frac{5}{3})}^3

{(\frac{2}{4})}^{-2}={(\frac{4}{2})}^2=2^2=4

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