Produtos notáveis

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No cálculo algébrico, quando multiplicamos polinômios, certas expressões aparecem com muita frequência, de uma forma notável. Chamamos de “produtos notáveis” essas expressões de grande importância na matemática e destacaremos cinco delas: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

Para os casos de produtos notáveis que serão apresentados, considere sempre que “a”, “b” e “c” são números pertencentes ao conjunto dos Reais.

Quadrado da soma

O quadrado da soma é caracterizado por um polinômio que segue o seguinte padrão: (a+b)²

Mas, também podemos escrever (a+b)² como (a+b).(a+b):

(a+b)² = (a+b).(a+b)

Pela propriedade distributiva, temos que:

(a+b).(a+b) = a²+ab+ba+b²

(a+b).(a+b) = a²+2ab+b².

O resultado obtido do desenvolvimento do polinômio (multiplicação aplicando a propriedade distributiva), possui um formato muito especial que sempre se repetirá.

Assim, para (a+b)^{2} podemos aplicar a seguinte regra:

O quadrado do primeiro (a²) mais duas vezes o primeiro vezes o segundo (+2ab) mais o quadrado do segundo (b²).

Exemplo: Expandir (x+2)²  

Aplicando diretamente a regra vista acima, temos que:

(x+2)^{2}=x^{2}+2.x.2+2^{2}= x^{2}+4x+4.

Quadrado da diferença

O quadrado da diferença é caracterizado por um polinômio que segue o seguinte padrão: (a-b)².

Mas, também podemos escrever (a-b)² como (a-b).(a-b):

(a-b)² = (a-b).(a-b)

Pela propriedade distributiva, temos que:

(a-b).(a-b)= a²-ab-ba+b²

(a-b).(a-b)=a²-2ab+b².

O resultado obtido do desenvolvimento do polinômio (multiplicação aplicando a propriedade distributiva), possui um formato muito especial que sempre se repetirá.

Assim, para (a+b)^{2} podemos aplicar a seguinte regra:

O quadrado do primeiro (a²) menos duas vezes o primeiro vezes o segundo (-2ab) mais o quadrado do segundo (b²).

Exemplo: Expandir (2-y)²

Aplicando diretamente a regra vista acima, temos que:

(2-y)^{2}=2^{2}-2.2.y+y^{2} = 4-4y+y^{2}.

Veja que o quadrado da diferença é muito semelhante ao quadrado da soma, de forma que a diferença entre eles é apenas o primeiro sinal.

Produto da soma pela diferença

O produto da soma pela diferença é caracterizado por um polinômio que segue o padrão o produto da soma de “a” por “b”, pela diferença de “a” por “b”: (a+b).(a-b).

Pela propriedade distributiva, temos que:

(a+b).(a-b)= a²-ab+ba+b², observe que “ab” e “ba” são produtos de mesmo resultado e, por isso, podemos cancelá-los na operação, tal que:

(a+b).(a-b)= a²-b².

Assim, o produto da soma (a+b) pela diferença (a-b) é dado pelo quadrado do primeiro (a²) menos o quadrado do segundo (b²):

Exemplo:

(x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}.

Cubo da soma

O cubo da soma é caracterizado por um polinômio que segue o padrão (a+b)³.

Mas, também podemos escrever (a+b)³ como (a+b).(a+b).(a+b):

(a+b)³=(a+b).(a+b).(a+b).

Ainda, pode-se perceber que (a+b)³=(a+b)².(a+b) e ainda que:

(a+b)³=(a²+2ab+b²).(a+b)

(a²+2ab+b²).(a+b)= a³+2a²b+ab²+ba²+2ab²+b³

a³+2a²b+ab²+ba²+2ab²+b³= a³+3a²b+3b²a+b³

Resumindo: (a+b)³= a³+3a²b+3b²a+b³

Assim, o cubo da soma é dado pelo cubo do primeiro mais 3 vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais 3 vezes o quadrado do segundo vezes o primeiro, mais o cubo do segundo.

Exemplo:

(a+2)^{3}=a^{3}+3a^{2}.2+3.2^{2}.a+2^{3}

(a+2)^{3}=a^{3}+6a^{2}+12a+8

Cubo da diferença

O cubo da diferença é caracterizado por um polinômio que segue o padrão (a-b)³.

Mas, também podemos escrever (a-b)³ como (a-b).(a-b).(a-b):

(a-b)³=(a-b).(a-b).(a-b).

Ainda, pode-se perceber que (a-b)²=(a-b)².(a-b) e ainda que:

(a-b)³=(a²-2ab+b²).(a-b)

(a²-2ab+b²).(a-b)= a³-2a²b+ab²-ba²+2ab²-b³

a³-2a²b+ab²-ba²+2ab²+b³= a³-3a²b+3b²a-b³

Resumindo: (a-b)³= a³-3a²b+3b²a-b³

Assim, o cubo da diferença é dado pelo cubo do primeiro menos 3 vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais 3 vezes o quadrado do segundo vezes o primeiro, menos o cubo do segundo.

Exemplo:

(z-3)^{3}=z^{3}-3.z^{2}.3+3.3^{2}.z-3^{3}

(z-3)^{3}=z^{3}-9z^{2}+27z-27

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