Radiciação

porEquipe Realize Educação

Na matemática a operação de radiciação é a forma de determinar a raiz de um valor numérico qualquer. Sua representação é dada por $\sqrt[n]{a}=b$ , em que n é o índice, a é o radicando, $\sqrt{\hspace{10}}$ é o radical e b é a raiz.

Raiz quadrada

Para entendermos a radiciação, devemos primeiro entender a operação com o menor índice possível, $\sqrt[2]{a}$ , na qual o índice n = 2. Chamamos essa operação de raiz quadrada.

Dado $\sqrt[2]{a}=b$ , a raiz quadrada de a é um número b que multiplicado por ele mesmo 2 vezes dá como resultado o radicando a. Ou seja, $\sqrt[2]{a}=b\Leftrightarrow b^{2}=a$ .

Vale ressaltar que na matemática não se costuma representar visualmente o índice 2, sendo $\sqrt{\hspace{10}}$ e $\sqrt[2]{\hspace{10}}$ a mesma coisa.

Exemplos:

$\sqrt[2]{81}=9$ , pois $9^{2}=81$ ;

$\sqrt[2]{9}=3$ , pois $3^{2}=9$ ;

$\sqrt[2]{16}=4$ , pois $4^{2}=16$ ;

$\sqrt{400}=20$ , pois $20^{2}=400$ ;

$\sqrt{900}=30$ , pois $30^{2}=900$ .

Note que pela definição apresentada, não é possível encontrar a raiz quadrada de um valor negativo, uma vez que um número multiplicado por ele mesmo sempre será positivo.

Exemplo:

$\sqrt[2]{-4}$ . Não tem número que multiplicado por ele mesmo dê como resultado -4.

Raiz cúbica

Seguindo a linha de raciocínio anterior, dado $\sqrt[3]{a}=b$ , a raiz cúbica de a é um número b que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado o radicando a. Ou seja, $\sqrt[3]{a}=b\Leftrightarrow b^{3}=a$ .

Vale ressaltar que para este caso será permitido radicando de sinal negativo, uma vez que números elevados ao terceiro expoente podem resultar em um valor de sinal negativo.

Exemplos:

$\sqrt[3]{8}=2$ , pois $2^{3}=8$ ;

$\sqrt[3]{-8}=-2$ , pois $(-2)^{3}=-8$ ;

$\sqrt[3]{27}=3$ , pois $3^{3}=27$ ;

$\sqrt[3]{-64}=-4$ , pois $(-4)^{3}=-64$ .

Raiz n-ésima

Seguindo a linha de pensamento das raízes anteriores, dado $\sqrt[n]{a}=b$ , a raiz enésima de a é um número b que multiplicado por ele mesmo n vezes dá como resultado o radicando a. Ou seja, $\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^{n}=a$ . Podemos ver que a radiciação é uma operação matemática inversa à potenciação, assim como a subtração é inversa à soma e a multiplicação é inversa à divisão.

Exemplos:

$\sqrt[4]{4096}=8$ , pois $8^{4}=4096$ ;

$\sqrt[4]{-4096}$ não é possível;

$\sqrt[5]{32}=2$ , pois $2^{5}=32$ ;

$\sqrt[5]{-32}=-2$ , pois $(-2)^{5}=-32$ ;

$\sqrt[6]{46656}=6$ , pois $6^{6}=46656$ ;

$\sqrt[6]{-46656}$ não é possível;

$\sqrt[7]{2187}=3$ , pois $3^{7}=2187$ ;

$\sqrt[7]{-2187}=-3$ , pois $(-3)^{7}=-2187$ ;

$\sqrt[8]{256}=2$ , pois $2^{8}=256$ ;

$\sqrt[8]{-256}$ não é possível;

Analisando os exemplos anteriores, podemos perceber um padrão: raiz de radicando negativo só terá valor se o índice for ímpar, ou seja:

$\sqrt[n]{a}$ , com a negativo e n par, não tem resultado;

$\sqrt[n]{a}$ , com a negativo e n ímpar, tem resultado.

Raiz quadrada exata e não exata

Uma raiz quadrada é dita exata quando seu radicando é um quadrado perfeito, ou seja, quando ele pode ser escrito na forma $b^{2}$ .

Exemplos:

$\sqrt{64}=8$ , pois $8^{2}=64$ ;

$\sqrt{121}=11$ , pois $11^{2}=121$ ;

Uma raiz quadrada não é exata se seu radicando não é um quadrado perfeito.

Exemplos:

$\sqrt{24}$ ;

$\sqrt{80}$ .

Para esses casos podemos fatorar o radicando de modo que a raiz quadrada seja parcialmente determinada, por exemplo:

$\sqrt{24}=\sqrt{2.2.2.3}=\sqrt{2^{^2}.6}=2\sqrt{6}$ ;

$\begin{flalign*} &\sqrt{80}=\sqrt{2.2.2.2.5}=\sqrt{2^{^2}.2^{^2}.5}=2.2\sqrt{5}=4\sqrt{5}& \end{flalign*}$

Produto de raízes

Se duas ou mais raízes possuem o mesmo índice, o produto dessas raízes pode ser escrito como a raiz do produto dos radicandos, ou seja, $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a.b}$ .

Exemplos:

$\sqrt{3}.\sqrt{27}=\sqrt{3.27}=\sqrt{81}=9$ .

$\sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2.4}=\sqrt[3]{8}=2$ .

O produto de raízes com índices diferentes pode ser efetuado de modo que as raízes sejam reescritas sob mesmo índice.

Exemplo:

$\sqrt[3]{3}.\sqrt{6}=\sqrt[6]{3^{2}}.\sqrt[6]{6^{3}}=\sqrt[6]{1944}$ .

Razão entre raízes

Se duas ou mais raízes possuem o mesmo índice, a razão das raízes pode ser escrita como a raiz da razão dos radicandos, ou seja, $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ .

Exemplo:

$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$ .

A razão de raízes de índices diferentes pode ser efetuada de modo que as raízes sejam reduzidas, o máximo possível, e reescritas sob mesmo índice.

Exemplo:

$\begin{flalign*} &\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[3]{9}.{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}.{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt[6]{9^{2}}.{\sqrt[6]{2^{3}}}}{2.2}=\frac{\sqrt[6]{9^{2}.2^{3}}}{4}=\frac{\sqrt[6]{81.8}}{4}=\frac{\sqrt[6]{648}}{4}& \end{flalign*}$

Raiz da raiz

Para efetuar a radiciação de uma raiz, ou seja, $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ , podemos reescrever a operação como a raiz de a com índice mxn. Ou seja:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m.n]{a}$

Potência do radicando

Como visto nos tópicos acima, a potenciação e a radiciação são operações inversas e, assim, podemos concluir que, sendo a raiz de um radicando qualquer um número que elevado à n, resulta no próprio radicando, então, por consequência, a raiz n-ésima de um radicando elevado à n-ésima potência é o próprio radicando.

Exemplos:

$\sqrt[n]{8^{n}}=8$ ;

$\sqrt[3]{a^{3}}=a$ .

Índice e expoente proporcionais

Se uma raiz possui índice com mesmo fator proporcional que o expoente do radicando, podemos reescrever simplificando esse fator, ou seja, $\sqrt[n.p]{a^{m.p}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ .

Exemplos:

$\sqrt[8]{5^{6}}=\sqrt[4.2]{5^{3.2}}=\sqrt[4]{5^{3}}$

$\sqrt[5]{3^{15}}=\sqrt[1.5]{3^{3.5}}=3^{3}$

Potência da raiz

Se uma raiz de índice n está elevada à n-ésima potência, podemos efetuar a operação realizando uma multiplicação que envolva n operações de potenciação. Ou seja, $\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}...\sqrt[n]{x}...$ . Usando a propriedade do produto de raízes, comentada anteriormente, podemos escrever:

$\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}...\sqrt[n]{x}...\Rightarrow$

$\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x.x.x.x...x...}\Rightarrow$

$\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x^{n}}$

E pela propriedade de potência do radicando, comentada anteriormente, podemos chegar em:

$\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x^{n}}=x$

Ou seja, resumidamente, podemos apenas cortar a potência com o radical (desde que o índice do radical seja igual à potência).

Exemplos:

$\left(\sqrt[]{a}\right)^{2}=a$ ;

$\left(\sqrt[3]{z}\right)^{3}=z$ .

Transformando raiz em potência, e vice-versa

Podemos converter uma raiz em potência da seguinte maneira:

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

Exemplo:

$\sqrt[3]{5^2}=5^{\frac{2}{3}}$

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