Radiciação

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Na matemática a operação de radiciação é a forma de determinar a raiz de um valor numérico qualquer. Sua representação é dada por \sqrt[n]{a}=b, em que n é o índice, a é o radicando, \sqrt{\hspace{10}} é o radical e b é a raiz.

Raiz quadrada

Para entendermos a radiciação, devemos primeiro entender a operação com o menor índice possível, \sqrt[2]{a}, na qual o índice n = 2. Chamamos essa operação de raiz quadrada.

Dado \sqrt[2]{a}=b, a raiz quadrada de a é um número b que multiplicado por ele mesmo 2 vezes dá como resultado o radicando a. Ou seja, \sqrt[2]{a}=b\Leftrightarrow b^{2}=a.

Vale ressaltar que na matemática não se costuma representar visualmente o índice 2, sendo \sqrt{\hspace{10}} e \sqrt[2]{\hspace{10}} a mesma coisa.

Exemplos:

\sqrt[2]{81}=9, pois 9^{2}=81;

\sqrt[2]{9}=3, pois 3^{2}=9;

\sqrt[2]{16}=4, pois 4^{2}=16;

\sqrt{400}=20, pois 20^{2}=400;

\sqrt{900}=30, pois 30^{2}=900.

Note que pela definição apresentada, não é possível encontrar a raiz quadrada de um valor negativo, uma vez que um número multiplicado por ele mesmo sempre será positivo.

Exemplo:

\sqrt[2]{-4}. Não tem número que multiplicado por ele mesmo dê como resultado -4.

Raiz cúbica

Seguindo a linha de raciocínio anterior, dado \sqrt[3]{a}=b, a raiz cúbica de a é um número b que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado o radicando a. Ou seja, \sqrt[3]{a}=b\Leftrightarrow b^{3}=a.

Vale ressaltar que para este caso será permitido radicando de sinal negativo, uma vez que números elevados ao terceiro expoente podem resultar em um valor de sinal negativo.

Exemplos:

\sqrt[3]{8}=2, pois 2^{3}=8;

\sqrt[3]{-8}=-2, pois (-2)^{3}=-8;

\sqrt[3]{27}=3, pois 3^{3}=27;

\sqrt[3]{-64}=-4, pois (-4)^{3}=-64.

Raiz n-ésima

Seguindo a linha de pensamento das raízes anteriores, dado \sqrt[n]{a}=b, a raiz enésima de a é um número b que multiplicado por ele mesmo n vezes dá como resultado o radicando a. Ou seja, \sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^{n}=a. Podemos ver que a radiciação é uma operação matemática inversa à potenciação, assim como a subtração é inversa à soma e a multiplicação é inversa à divisão.

Exemplos:

\sqrt[4]{4096}=8, pois 8^{4}=4096;

\sqrt[4]{-4096} não é possível;

\sqrt[5]{32}=2, pois 2^{5}=32;

\sqrt[5]{-32}=-2, pois (-2)^{5}=-32;

\sqrt[6]{46656}=6, pois 6^{6}=46656;

\sqrt[6]{-46656} não é possível;

\sqrt[7]{2187}=3, pois 3^{7}=2187;

\sqrt[7]{-2187}=-3, pois (-3)^{7}=-2187;

\sqrt[8]{256}=2, pois 2^{8}=256;

\sqrt[8]{-256} não é possível;

Analisando os exemplos anteriores, podemos perceber um padrão: raiz de radicando negativo só terá valor se o índice for ímpar, ou seja:

\sqrt[n]{a}, com a negativo e n par, não tem resultado;

\sqrt[n]{a}, com a negativo e n ímpar, tem resultado.

Raiz quadrada exata e não exata

Uma raiz quadrada é dita exata quando seu radicando é um quadrado perfeito, ou seja, quando ele pode ser escrito na forma b^{2}.

Exemplos:

\sqrt{64}=8, pois 8^{2}=64;

\sqrt{121}=11, pois 11^{2}=121;

Uma raiz quadrada não é exata se seu radicando não é um quadrado perfeito.

Exemplos:

\sqrt{24};

\sqrt{80}.

Para esses casos podemos fatorar o radicando de modo que a raiz quadrada seja parcialmente determinada, por exemplo:

\sqrt{24}=\sqrt{2.2.2.3}=\sqrt{2^{^2}.6}=2\sqrt{6};

    \begin{flalign*} &\sqrt{80}=\sqrt{2.2.2.2.5}=\sqrt{2^{^2}.2^{^2}.5}=2.2\sqrt{5}=4\sqrt{5}& \end{flalign*}

Produto de raízes

Se duas ou mais raízes possuem o mesmo índice, o produto dessas raízes pode ser escrito como a raiz do produto dos radicandos, ou seja, \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a.b}.

Exemplos:

\sqrt{3}.\sqrt{27}=\sqrt{3.27}=\sqrt{81}=9.

\sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2.4}=\sqrt[3]{8}=2.

O produto de raízes com índices diferentes pode ser efetuado de modo que as raízes sejam reescritas sob mesmo índice.

Exemplo:

\sqrt[3]{3}.\sqrt{6}=\sqrt[6]{3^{2}}.\sqrt[6]{6^{3}}=\sqrt[6]{1944}.

Razão entre raízes

Se duas ou mais raízes possuem o mesmo índice, a razão das raízes pode ser escrita como a raiz da razão dos radicandos, ou seja, \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}.

Exemplo:

\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=2.

A razão de raízes de índices diferentes pode ser efetuada de modo que as raízes sejam reduzidas, o máximo possível, e reescritas sob mesmo índice.

Exemplo:

    \begin{flalign*} &\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[3]{9}.{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}.{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt[6]{9^{2}}.{\sqrt[6]{2^{3}}}}{2.2}=\frac{\sqrt[6]{9^{2}.2^{3}}}{4}=\frac{\sqrt[6]{81.8}}{4}=\frac{\sqrt[6]{648}}{4}& \end{flalign*}

Raiz da raiz

Para efetuar a radiciação de uma raiz, ou seja, \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}, podemos reescrever a operação como a raiz de a com índice mxn. Ou seja:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m.n]{a}

Potência do radicando

Como visto nos tópicos acima, a potenciação e a radiciação são operações inversas e, assim, podemos concluir que, sendo a raiz de um radicando qualquer um número que elevado à n, resulta no próprio radicando, então, por consequência, a raiz n-ésima de um radicando elevado à n-ésima potência é o próprio radicando.

Exemplos:

\sqrt[n]{8^{n}}=8;

\sqrt[3]{a^{3}}=a.

Índice e expoente proporcionais

Se uma raiz possui índice com mesmo fator proporcional que o expoente do radicando, podemos reescrever simplificando esse fator, ou seja, \sqrt[n.p]{a^{m.p}}=\sqrt[n]{a^{m}}.

Exemplos:

\sqrt[8]{5^{6}}=\sqrt[4.2]{5^{3.2}}=\sqrt[4]{5^{3}}

\sqrt[5]{3^{15}}=\sqrt[1.5]{3^{3.5}}=3^{3}

Potência da raiz

Se uma raiz de índice n está elevada à n-ésima potência, podemos efetuar a operação realizando uma multiplicação que envolva n operações de potenciação. Ou seja, \left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}...\sqrt[n]{x}.... Usando a propriedade do produto de raízes, comentada anteriormente, podemos escrever:

\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}.\sqrt[n]{x}...\sqrt[n]{x}...\Rightarrow

\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x.x.x.x...x...}\Rightarrow

\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x^{n}}

E pela propriedade de potência do radicando, comentada anteriormente, podemos chegar em:

\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=\sqrt[n]{x^{n}}=x

Ou seja, resumidamente, podemos apenas cortar a potência com o radical (desde que o índice do radical seja igual à potência).

Exemplos:

\left(\sqrt[]{a}\right)^{2}=a;

\left(\sqrt[3]{z}\right)^{3}=z.

Transformando raiz em potência, e vice-versa

Podemos converter uma raiz em potência da seguinte maneira:

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Exemplo:

\sqrt[3]{5^2}=5^{\frac{2}{3}}

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