Sistema de equações do primeiro grau

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Um sistema de equações é um conjunto de equações que apresentam mais de uma variável. Sua resolução se dá por meio da resolução do sistema inteiro, e não individualmente tal qual uma equação comum. Ou seja, o problema é só é resolvido caso seja encontrado valores para as incógnitas que satisfaçam todas as equações presentes no sistema.

Sistema de equação do primeiro grau

O sistema de equações do primeiro grau nada mais é do que um sistema de equações composto por equações de primeiro grau. Ou seja, para gerar um sistema de equações de primeiro grau é necessário que suas incógnitas tenham expoente igual a 1 (nunca maior que 1), e que não haja produto entre incógnitas.

As letras geralmente usadas para incógnitas são o x e o y.

Exemplos:

\left\{\begin{matrix} x+y=4 & \\ x-y=-2 & \\ \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} x+y=9 & \\ y+3=7 & \\ \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} x+y-z=0 & \\ 2.x-z=0 & \\  5.x+2.y+z=0 & \end{matrix}\right.

Os sistemas de equações do primeiro grau podem ser classificados de acordo com o número de soluções do sistema:

SPD: sistema possível e determinado, 1 única solução;

SPI: sistema possível e indeterminado, infinitas soluções;

SI: sistema impossível, nenhuma solução.

SPD: sistema possível e determinado

Chamamos de sistema possível e determinado (ou apenas sistema determinado) o sistema que possuir apenas uma solução. Como o próprio nome sugere, é um sistema possível de se resolver e é determinado, ou seja, conseguimos determinar a sua solução e ela é única. Se existir duas incógnitas no sistema, existirá apenas um valor para cada incógnita que satisfará a solução.

Exemplos:

\left\{\begin{matrix} x+y=3 & \\ x-y=-1 & \\ \end{matrix}\right.: neste caso, a única solução possível é o par ordenado (1;2), dado que\left\{\begin{matrix} 1+2=3 & \\ 2-1=-1 & \\ \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} y-x=4 & \\ y+x=10 & \\ \end{matrix}\right.: neste outro, a única solução possível é o par ordenado (3;7), dado que\left\{\begin{matrix} 7-3=3 & \\ 7+3=10 & \\ \end{matrix}\right.

SPI: sistema possível e indeterminado

Chamamos de sistema possível e indeterminado (ou apenas sistema indeterminado) o sistema que possui infinitas soluções. Como o próprio nome sugere, o sistema é possível de se resolver e é indeterminado, ou seja, não podemos determinar uma única solução, mas sim infinitas. Se tivermos um sistema SPI de duas equações com duas incógnitas, por exemplo, teremos um número infinito de pares ordenados que tornem o sistema verdadeiro. Assim, não é possível determinar qual par ordenado em específico é a solução, mas sim um conjunto deles.

Exemplo:

\left\{\begin{matrix} x+y=3 & \\ 2x+2y=6 & \\ \end{matrix}\right.

Da equação de cima, e isolando x, temos:

x+y=3 \leftrightarrow {\color{Red} x=3-y}

Substituindo x na equação de baixo, temos:

2.{\color{Red} x}+2.y=6 \leftrightarrow

2.({\color{Red} 3-y})+2y=6 \leftrightarrow

6-2.y+2.y=6 \leftrightarrow

-2.y+2y=6-6 \leftrightarrow

0.y=0

Dessa forma, se 0.y=0 e não importa quais valores atribuamos ao y, já que ao multiplicarmos por 0, o resultado será necessariamente 0. Sendo assim, é um sistema possível, porém indeterminado, visto que não há um único par ordenado que o satisfaça, mas sim um conjunto deles.

SI: sistema impossível

O sistema impossível, como o próprio nome sugere, é um sistema impossível de ser resolvido (não há solução). Para um sistema SI de duas equações e duas incógnitas, por exemplo, não há nenhum par ordenado existente que satisfaça as condições do sistema, sendo este, então, matematicamente impossível de se resolver.

Exemplos:

\left\{\begin{matrix} x+y=6 & \\ x+y=8 & \\ \end{matrix}\right.

Tomando a primeira equação e isolando o x, temos:

x+y=6 \leftrightarrow {\color{Red} x=6-y}

Substituindo x na segunda equação:

{\color{Red} x}+y=8 \leftrightarrow

{\color{Red} 6-y}+y=8 \leftrightarrow

-y+y=8-6 \leftrightarrow

0=2

Neste caso, é evidente que o valor de y é necessariamente impossível, visto que 0 ≠ 2. Sendo assim, não há nenhuma solução possível para o sistema.

 

\left\{\begin{matrix} x-y=3 & \\ x-y=2 & \\ \end{matrix}\right.

Tomando a primeira equação e substituindo x, temos:

x-y=3 \leftrightarrow

{\color{Red} x=3+y}

Substituindo x na equação de baixo, temos:

{\color{Red} x}-y=2 \leftrightarrow

{\color{Red} 3+y}-y=2 \leftrightarrow

y-y=2-3 \leftrightarrow

0=-1

Neste outro, também é notável que se trata de um sistema impossível, visto que 0 ≠ -1. Assim, não há solução possível para o sistema.

Condição suficiente para que o sistema não seja SPD

Uma condição suficiente para que um sistema não seja SPD (ou seja, será SPI ou SI) é o número de equações ser menor do que o número de incógnitas.

Exemplo:

\left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ 2x-y+4z=8 & \\ \end{matrix}\right. será SPI ou SI, pois tem 2 equações com 3 incógnitas.

Métodos de resolução

Os sistemas de equações do primeiro grau podem ser resolvidos de maneiras diferentes e usando três diferentes métodos, cada um podendo ser usado quando melhor se encaixar, sendo eles:

Eliminação por substituição;

Eliminação por comparação;

Eliminação por redução ao mesmo coeficiente.

Os valores que satisfazem o sistema são chamados de listas ordenadas, e dependendo do número de incógnitas recebem um nome particular: pares ordenados (duas incógnitas), triplas ordenadas (três incógnitas), etc.

Eliminação por substituição

Para este método, nós escolhemos uma equação e isolamos uma de suas incógnitas, de modo a achar seu valor em relação à outra. Depois, substituímos este valor encontrado na outra equação, de modo com que a segunda equação fique com apenas uma incógnita e seja de fácil resolução. Com o valor de uma incógnita, o último passo é substituir esse valor encontrado na primeira equação, sobrando apenas uma incógnita, que só então poderá ser discernida para formar a lista ordenada.

Exemplo:

\left\{\begin{matrix} x+y=4 & \\ x+2y=7 & \\ \end{matrix}\right.

Neste sistema, nós temos duas equações, sendo elas  x+y=4 e x+y=7 . Isolaremos o x na primeira equação.

x+y=4 \leftrightarrow 2=4-y

Temos então o valor de x em relação à y, que é 4-y. Aplicaremos este valor à segunda equação do sistema, de modo a deixar apenas uma incógnita.

{\color{Red} x}+2.y=7 \leftrightarrow

{\color{Red} 4-y}+2.y=7 \leftrightarrow

-y+2.y=7-4 \leftrightarrow

y=3

Desse modo, temos o valor de y, que é 3. O que nos resta é aplicar este valor na primeira equação, para descobrirmos o valor de x.

.x+{\color{Blue} y}=4 \leftrightarrow

x+{\color{Blue} 3}=4

x+4-3 \leftrightarrow

x=1

Desse modo, o par ordenado que satisfaz o sistema é S=\{(1;3)\}.

Eliminação por comparação

Neste método, diferentemente do anterior, nós isolamos a mesma incógnita em ambas as equações, para depois compará-las (igualar as equações). Após a obtenção do valor da incógnita escolhida, é só aplicar em qualquer uma das equações, que ficará com apenas uma incógnita e que será também de fácil resolução.

Exemplo:

\left\{\begin{matrix} x+y=12 & \\ x+2y=17 & \\ \end{matrix}\right.

Neste caso, isolaremos o  em ambas as equações.

.x+y=12 \leftrightarrow x=12-y

x+2.y=17 \leftrightarrow x=17-2.y

Compararemos (igualaremos) então os valores do  obtidos pelas equações:

x=x \leftrightarrow

12-y=17-2.y \leftrightarrow

-y+2.y=17-12 \leftrightarrow

y=5

Com o valor de y já definido, basta aplicar em qualquer uma das equações para então definirmos x.

x+{\color{Red} y}=12 \leftrightarrow

x+{\color{Red} 5}=12 \leftrightarrow

x=12-5 \leftrightarrow

x=7

Definido o valor de x, temos o par ordenado que satisfaz o sistema: S=\{(7;5)\}.

Eliminação por redução ao mesmo coeficiente

Também conhecido como eliminação por adição, esse método consiste em somar as duas equações de modo a eliminar uma incógnita, mas só pode ser feito se os coeficientes de uma das incógnitas forem opostos (mesmo módulo e sinal contrário). Caso os sinais não forem opostos, uma equação pode ser multiplicada por (–1) de modo que se troque o sinal para a aplicação do método. Assim, com apenas uma incógnita, o sistema pode ser resolvido.

Exemplo 1:

\left\{\begin{matrix} x+y=8 & \\ x-y=4 & \\ \end{matrix}\right.

Somaremos ambas as equações do sistema e teremos:

x+y+x-y=x+4 \leftrightarrow

2x=12 \leftrightarrow

x=6

Sabendo o valor de x, aplicamos a qualquer uma das equações e obteremos o valor de y. Escolhendo a segunda equação, temos:

{\color{Red} x}-y=4 \leftrightarrow

{\color{Red} 6}-y=4 \leftrightarrow

-y=4-6 \leftrightarrow

-y=-2 \leftrightarrow

y=2

Assim, conseguimos ambos os valores que satisfazem o sistema e temos o par ordenado S=\{(6;2)\}.

Exemplo 2:

\left\{\begin{matrix} 2x+3y=10 & \\ 3x-4y=5 & \\ \end{matrix}\right.

Com esse sistema, não podemos somar diretamente as equações, mas temos de multiplicá-las por algum valor para que a soma elimine uma das incógnitas:

\left\{\begin{matrix} 2x-3y=10 \hspace{4}X(3) & \\ 3x-4y=5 \hspace{4}X(-2) & \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow

\left\{\begin{matrix} 6x-9y=30 & \\ -6x-8y=-10  & \\ \end{matrix}\right.

Agora somando as equações, temos:

6.x-9.y-6.x+8.y=30-10 \leftrightarrow

-y=20\leftrightarrow

y=-20

Substituindo esse y na primeira equação, temos:

2.x-3.{\color{Red} y}=10 \leftrightarrow

2.x-3.({\color{Red} -20})=10 \leftrightarrow

2.x+60=10 \leftrightarrow

2.x=10-60 \leftrightarrow

2.x=-50 \leftrightarrow

x=\frac{-50}{2} \leftrightarrow

x=-25

Portanto, a solução desse sistema: S=\{(-25; -20)\}.

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