Equação de primeiro grau

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A equação de primeiro grau é uma igualdade entre expressões que as modelam em valores numéricos para incógnitas presentes nas operações. Assim, a equação do primeiro grau atribui valor para incógnitas (valores desconhecidos) a partir de valores conhecidos.

Equação

Para entendermos o que é a equação do primeiro grau, primeiro devemos nos situar quanto ao nome “equação”.

A palavra equação derivada do Latim, equatione, e traz consigo a noção de igualdade, de modo que toda equação possuirá um símbolo matemático para representar igualdades (=) Assim, podemos tratar cada equação como uma balança, de modo que a incógnita que se deseja descobrir é o valor necessário para que tal equação seja perfeitamente equilibrada.

De modo mais simples, uma equação é uma expressão algébrica com igualdade.

Incógnita equilibrando a igualdade
Incógnita equilibrando a igualdade

Equação de primeiro grau

Na matemática existem equações de infinitos graus, como equações do primeiro, equações do segundo grau, equações do quinto grau, etc. Assim, ao estudarmos as equações de primeiro grau, temos de nos atentar à potência que a incógnita está elevada. Sendo a equação do primeiro grau aquela cuja potência da incógnita vale 1.

Exemplo:

x + 3 = 4 é uma equação do primeiro grau pois a incógnita x está elevada à primeira potência (x = x1).

Vale ressaltar, também, que o grau da equação nos mostra o número máximo de soluções reais que a mesma pode possuir, e, assim, a equação do primeiro grau pode possuir no máximo uma solução real.

Forma da equação do primeiro grau

Chamamos de equação do primeiro grau, toda sentença aberta redutível representada genericamente por ax + b = 0, para a ∈ ℝ, b ∈ ℝ, a ≠ 0 e x representando a incógnita da equação.

Resolver a equação do primeiro grau significa encontrar o valor real que representa a incógnita. Geralmente as letras mais utilizadas para incógnitas são x, y e z.

Exemplos:

x+7=6,\hspace{2}x=?

\frac{1}{z}-2=0,\hspace{2}z=?

3y+0,8=9,\hspace{2}y=?

Forma normal de uma equação

Uma equação do primeiro grau está em sua forma normal quando seus termos não nulos estão em apenas um lado da igualdade e ordenados (da esquerda para direita) segundo ordem de decrescimento da potência de seus termos.

Exemplo:

5x + 2 = 0 está na forma normal pois a equação possui termos não nulos somente em um lado da igualdade e a potência dos termos estão decrescendo 5x + 2 = 5x1 + 2x0 = 0.

Resolver a equação

Para se resolver uma equação de primeiro grau, ou seja, encontrar um valor real para a incógnita, basta isolarmos a incógnita, através de manipulações algébricas, de modo que a deixemos sozinha em um lado da igualdade, se relacionando com seu representante numérico.

Para se isolar a incógnita, devemos nos atentar à operações como “passar o número para o outro lado” (trocamos o sinal), “passar para o outro lado dividindo” (quando se está multiplicando de um dos lados) e “passar para o outro lado multiplicando” (quando se está dividindo de um dos lados).

Exemplos:

2.x+3=5\leftrightarrow 2x=5-3=2, portanto 2x=2\hspace{4}e\hspace{4}x=1

0,5y+4=6\leftrightarrow 0,5y=6-4=2, portanto 0,5y=2\hspace{4}e\hspace{4}y=4

\frac{1}{z}-2=0\leftrightarrow \frac{1}{z}=2, portanto 2z=1\hspace{4}e\hspace{4}z=\frac{1}{2}

Equação de primeiro grau racional e irracional

A equação do primeiro grau é dita racional quando todos os seus coeficientes pertencem ao conjunto dos números racionais.

Exemplos:

2x+3=0;

\frac{1}{2}.x+7=9;

2,22222\hspace{3}...\hspace{3}x-0,77777\hspace{3}...\hspace{3}=6

Em contrapartida, a equação do primeiro grau é irracional quando ao menos um de seus coeficientes pertence ao conjunto dos números irracionais.

Exemplo:

2.x+\sqrt{2}=4

Equações equivalentes

Duas ou mais equações do primeiro grau são equivalentes quando possuem a mesma solução.

Exemplo:

3.x-9=0\hspace{4}e\hspace{4}4+x=7, ambas resultam em x=3

Equações possíveis e determinadas

Equações de primeiro grau possíveis e determinadas são equações que possuem somente uma solução.

Exemplo:

2.x+3=5\leftrightarrow 2x=5-3=2, portanto 2x=2 e x=1

x-2.(x+1)=-3\leftrightarrow x-2.x-2=-3, portanto -2+3=-x+2.x\leftrightarrow1=x

x-2.(x+1)=-3\leftrightarrow x-2.x-2=-3, portanto -2+3=-x+2.x\leftrightarrow1=x

Equações possíveis e indeterminadas

Equações do primeiro grau possíveis e indeterminadas são equações que possuem infinitas soluções. São equações do primeiro grau que possuem duas ou mais incógnitas.

Exemplo:

3x+z=7, para cada valor de z teremos um valor diferente de x, de maneira que existam infinitas soluções.

Equações impossíveis

São “falsas equações” do primeiro grau, uma vez que não possuem soluções. Esse fato se dá pelo motivo de não existir igualdade real na equação.

Exemplo:

x+2=x+3\leftrightarrowx-x=-2+3\leftrightarrow0=1, ou seja, não é uma igualdade verdadeira.

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