Equação do segundo grau

How Can We Help?

Voltar
Você está aqui:

Na matemática, a equação do segundo grau, assim como a de primeiro grau , é uma operação da qual deseja-se encontrar o valor numérico de uma incógnita. Mas aqui a incógnita estará elevada ao grau 2.

Equação

Para entendermos a equação do segundo grau, primeiramente devemos entender o que é uma equação.

A equação é uma expressão algébrica com igualdade. Representa o equilíbrio entre valores que estão em lados opostos dessa igualdade (símbolo “=”). A equação é uma maneira de encontrar o valor numérico de uma incógnita através de manipulações algébricas.

Equação do segundo grau

A equação do segundo grau se dá por uma operação de igualdade matemática com incógnitas elevadas ao segundo expoente, necessariamente, e com a presença da incógnita elevada ao primeiro expoente em alguns casos, na forma ax²+bx+c=0, sendo x a incógnita (também representada por y e z, em algumas vezes), a e b sendo os coeficientes da operação e c o termo independente.

Exemplos: 

x^2+2x-2=0;

3x^2-9x=9;

x^2-9=0;

x^2=16.

Soluções

Em uma equação, chamamos de solução o valor encontrado que represente a incógnita, ou em outras palavras, o valor que satisfaça a igualdade. Representamos por S={} e colocamos as possíveis soluções da equação entre essas chaves.

Na equação do segundo grau, encontraremos no máximo duas soluções para satisfazer a igualdade, valendo a regra de que para cada equação, o máximo de soluções possíveis que as satisfaçam se dá pelo número do grau da equação.

Exemplos:

x+3=2 \rightarrow Equação do primeiro grau \rightarrow No máximo uma solução;

x^3+x^2-3x+5 \rightarrow Equação do terceiro grau \rightarrow No máximo três soluções;

x^2+5x+9=0 \rightarrow Equação d segundo grau \rightarrow No máximo duas soluções.

Método de Bhaskara para resolução da equação do segundo grau

Para se resolver uma equação do segundo grau, assim como na de primeiro grau, devemos isolar a incógnita de forma que encontremos seu valor numérico. Contudo, por se tratar de uma incógnita elevada a segunda potência, a manipulação algébrica não se torna tão trivial, de maneira que fórmulas pré-estabelecidas foram determinadas, facilitando o cálculo da incógnita.

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara tem seu nome em homenagem ao famoso matemático Bhaskara Akaria, um matemático indiano de prestígio, considerado o último matemático medieval importante da Índia.

Há muitas controvérsias sobre a origem do método de resolução em questão, sendo que para alguns a fórmula foi deduzida pelo próprio Bhaskara Akaria, enquanto outros argumentam que existem indícios de tal método desde muito antes do matemático indiano, chamando, então, a fórmula de Bhaskara de “método resolutivo para equações quadráticas”.

A fórmula de Bhaskara, ou método resolutivo, se dá por duas operações envolvendo os coeficientes da equação do segundo grau. Cada uma das duas operações é responsável por um possível valor para a incógnita, uma vez que, na equação do segundo grau, a incógnita pode assumir até dois valores. As duas operações são essas:

x'=\frac{-b+\sqrt{(b^2-4.a.c)}}{2.a}, onde a e b são coeficientes da equação e x’ é uma possível solução da equação.

x''=\frac{-b-\sqrt{(b^2-4.a.c)}}{2.a}, onde a e b são coeficientes da equação e x” é uma possível solução da equação.

Podemos, então, condensar a fórmula da seguinte maneira:

x=\frac{-b \pm \sqrt{(b^2-4.a.c)}}{2.a}, de modo que faremos uma operação para o sinal da adição e outra para a subtração.

Delta (∆)

Podemos minimizar a fórmula de Bhaskara da seguinte maneira: x=\frac{-b \pm \sqrt{(\Delta)}}{2.a}, em que \Delta=b^2-4.a.c.

Assim, temos três regras que dependem dos valores de ∆:

  • Para ∆>0, teremos duas soluções reais distintas, ou seja, x’≠x”.
  • Para ∆=0, teremos duas soluções reais iguais, ou seja, x’=x”.
  • Para ∆<0, não teremos solução real, pois pelas propriedades de raiz quadrada, não existe valor real que satisfaça a raiz quadrada de um valor negativo.

Exemplos:

x^2-4x=5

  • Rearranjando, temos x^2-4x-5=0, com os coeficientes a, b e c valendo 1, -4 e -5 respectivamente,
  • Calculando \Delta =b^2-4.a.c, temos \Delta=(-4)^2-4.(1).(-5). Assim, \Delta=16-(-20=16+20=36), ou seja, \Delta>0.
  • Calculando os valores de x, temos:x=\frac{-b \pm \sqrt{(b^2-4.a.c)}}{2.a}
  • Portanto x'=\frac{-(-4)+\sqrt{36}}{2.1}=5
  • x''=\frac{-(-4)-\sqrt{36}}{2.1}=-1
  • Portando temos o conjunto de soluções S={-1,5}.

 

x^2-14x+49=0

  • Temos os coeficientes a=1, b=-14 e c=49.
  • Calculando o

        \begin{flalign*} &\Delta=(-14)^2-4.(1).(49)=196-196=0.& \end{flalign*}

  • Calculando os valores de x, temos: x'=\frac{-(14)+\sqrt{0}}{2.1}=7
  • x''=\frac{-(14)-\sqrt{0}}{2.1}=7
  • Portanto a solução é S={7}.

 

4x^2+4x+2=0

  • Temos que a=4, b=4 e c=2.
  • Calculando \Delta=4^2-4.4.2=16-32=-16, ou seja, \Delta<0.
  • Portanto não existem soluções reais e a expressão não terá resposta (solução vazia), ou seja, S=Ø.

Outras formas de resolver a equação do segundo grau

Quando não temos termo independente

Na resolução da equação do segundo grau, quando não há presença do termo independente, simplesmente igualamos c a zero e aplicamos o Bhaskara. Mas nesse caso também podemos usar fatoração para resolver a equação.

Exemplo:

2x^2-6x=02x.(x-3)=02x=0 ou x-3=0x=0 ou x=3. Solução S={0,3}

Quando não temos o coeficiente b

Quando a equação do segundo grau não possuir incógnita elevada ao primeiro expoente, ou seja, quando b=0, podemos resolver a equação sem nenhuma fórmula pré-estabelecida, utilizando somente manipulações algébricas.

Exemplo:

x^2-36=0x^2=36x=\pm \sqrt{36}x= \pm 6. Solução S={-6, 6}

Soma e produto

Podemos resolver uma equação o segundo grau também pelo método da soma e produto. Esse método consiste em enxergar a equação do segundo grau da seguinte maneira:

x^2-sx+p=0, onde s=soma e p=produto. Perceba que o coeficiente a=1. Caso não seja igual a 1, basta dividir toda a equação por a para chegar nesse formato. A partir daqui devemos encontrar dois números que somados dão s e multiplicados dão p.

Exemplo:

x^2+5x+6=0x^2-(-5)x+6=0⇒ s=-5 e p=6. Os números procurados são -2 e -3 pois:

s=-2-3=-5 e

p=(-2).(-3)=6

Portanto solução S={-2, -3}.

Anterior Equação de primeiro grau
Próxima Frações

Deixe um comentário