Teorema de Pitágoras

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O teorema de Pitágoras é considerado um dos teoremas mais importantes da matemática devido a sua simplicidade e utilidade.

Proposto pelo matemático grego Pitágoras, o teorema estudava uma propriedade notável dos triângulos retângulos, afirmando que “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Ou seja, sendo catetos os lados do triângulo retângulo que se ligam por um vértice que contenha o ângulo reto (90°), cada um desses elevado à segunda potência e somados se equivalem a hipotenusa elevada à segunda potência:

a^2+b^2=c^2

Triângulo retângulo

Para falarmos sobre o teorema de Pitágoras, primeiro é necessário se recordar das propriedades do triângulo retângulo.

O triângulo retângulo é um polígono de três lados, com um de seus ângulos medindo 90° (ângulo reto). Os lados AC e BC formam o ângulo reto A\hat{C}B no ponto C, o lado que o ângulo C\hat{A}B enxerga se chama “cateto a”, o lado que o ângulo A\hat{B}C enxerga se chama “cateto b” e o lado que o ângulo A\hat{C}B enxerga se chama “hipotenusa”.

Triângulo retângulo
Triângulo retângulo

De onde surge a fórmula?

Imaginemos um triângulo retângulo qualquer de catetos medindo a e b, respectivamente, e hipotenusa medindo c. A partir disso, como na imagem abaixo, considere quadrados de lados a, b e c, respectivamente, com suas bases em comum com os lados do triângulo:

Triângulo de Pitágoras
Triângulo de Pitágoras

O teorema afirma que para quaisquer triângulos possíveis, o quadrado de base em comum com a hipotenusa de um triângulo terá a medida de sua área igual a soma das áreas dos quadrados de base em comum com os catetos.

Teorema de Pitágoras

Pelo teorema em questão, podemos calcular informações que nos ajudam em diversas questões do cotidiano e da vida profissional, como em rotas de automóveis, na arquitetura, construção civil, etc.

Exemplos:

4^2+3^2=5^2\leftrightarrow 16+5=25, com isso, pode-se construir um triângulo retângulo de medidas laterais , respectivamente.

1^2+1^2={(\sqrt{2})}^2\leftrightarrow 1+1=2

Equações com o teorema de Pitágoras

Com o teorema de Pitágoras, conseguimos também, descobrir valores ainda não conhecidos nos triângulos retângulas, desde que dois dos três valores já estejam destacados.

Exemplos:

3^2+4^2=x^2 \leftrightarrow 16+9=25

    \begin{flalign*} &6^2+y^2=10^2\leftrightarrow 36+y^2=100\leftrightarrow y^2=100-36=64& \end{flalign*}

Portanto y=\sqrt{64}=8.

Triângulo 3, 4, 5

No teorema de Pitágoras, alguns triângulos se tornam tão usuais que convém gravar suas medidas, evitando efetuar o mesmo cálculo toda vez que for preciso destacar os valores dos mesmos.

Um exemplo desses triângulos é o triângulo 3, 4, 5. Um triângulo retângulo em que seus catetos valem 3 e 4 e sua hipotenusa mede 5, de forma que as equações para se descobrir os lados destes triângulos não precisam ser efetuadas.

Exemplo:

4^2+x^2=5^2 \leftrightarrow x=3, pelo triângulo 3, 4, 5.

Semelhante ao exemplo anterior, os múltiplos dos lados do triângulo 3, 4 e 5 também podem ser calculados rapidamente.

Exemplo:

w^2+8^2=10^2 \leftrightarrow w=6, uma vez que 6 é múltiplo de 3, 8 é múltiplo de 4 e 10 é múltiplo de 5.

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