Progressão aritmética

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Na matemática, a progressão aritmética (PA) é uma sequência de elementos enumeráveis dos quais a subtração de um elemento qualquer por seu antecessor tem sempre o mesmo valor, independentemente da posição que eles estão na sequência.

Exemplo:

Para uma sequência A7 = (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16), teremos que 12 – 10 terá o mesmo valor de subtração que 10 – 8 ou 6 – 4.

Generalizando, para uma sequência An=a1, a2, a3, …, an, teremos que a2 – a1 terá o mesmo valor de subtração que an – an-1.

Podemos classificar a PA como finita, quando a PA possui um termo inicial e um termo final, e PA infinita, quando não se possui um termo final.

Razão da PA

O valor fixo dado pela subtração de um termo e seu antecessor em uma progressão aritmética é chamado de razão (r) da PA. Você verá mais adiante que a razão aparece em diversas fórmulas da PA.

Exemplo:

Para a sequência A7 = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14), podemos observar que 14 – 12=2, 12 – 10 = 2, 10 – 8 = 2, 8 – 6 = 2, 6 – 4 = 2 e 4 – 2 = 2, sendo a razão r = 2.

Classificação da PA

Podemos classificar a PA com relação a sua razão r, de modo que a PA crescente tem r > 0, PA decrescente tem r < 0 e constante tem r = 0.

Podemos classificar de modo organizado pela tabela abaixo:

Classificação da PA
Classificação da PA

Termo geral da PA

O termo geral da PA é dado por uma fórmula capaz de calcular um valor qualquer da sequência, dado o primeiro termo a1, a razão r e o índice n do termo desejado:

a_{n}=a_{1}+(n-1)r

Exemplos:

Encontrar o quarto termo da PA An sabendo que a1 = 2 e r = 2.

Temos que a_{n}=a_{1}+(n-1)r, assim, a_{4}=2+(4-1).2=8.

Encontrar o quarto termo da PA Am sabendo que a1 = 2 e r = -3.

Temos que a_{4}=2+(4-1).(-3), assim, a_{4}=2+3.(-3)=2+(-9)=-7.

Podemos escrever o termo geral da PA de uma outra maneira, colocando no lugar do a1 algum outro termo da sequência. A fórmula fica da seguinte maneira:

a_{m}=a_{n}+(m-n)r

Exemplo:

Qual o trigésimo terceiro termo de uma PA de razão r = 3 e a7 = 12?

Usando a fórmula a_{m}=a_{n}+(m-n)r, temos:

a_{33}=a_{7}+(33-7).3\Rightarrow

a_{33}=12+26.3\Rightarrow

a_{33}=12+78\Rightarrow

a_{33}=90

Interpolação aritmética

O conceito de interpolar tem o significado figurativo de “colocar entre”. Deste modo, interpolar no meio aritmético de um intervalo significa destacar valores conhecidos pertencentes ao intervalo, de modo que estes pertençam a uma PA.

Para realizar essa interpolação, será necessária a fórmula do termo geral da PA.

Exemplo:

Interpole 2 meios entre 2 e 26

  • Note que teremos 4 termos para tal PA de modo que o primeiro termo será 2 e último 26;
  • Assim, utilizando do termo geral, temos que a_{4}=a_{1}+(4-1).r, assim, 26=2+(3).r\Rightarrow 26-2=3r\Rightarrow 24=3r\Rightarrow \frac{24}{3} =3r\Rightarrow r=8.
  • Com isso, temos uma PA (2, 10, 18, 26) de quatro termos e razão r = 8.

Termo médio da PA

Em uma PA com o número de termos ímpar, o termo médio pode ser dado pela média aritmética entre a1 e an, de modo que TM=\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}.

Exemplo:

Na PA (2, 4, 6, 8, 10), temos TM=\frac{a_{1}+a_{5}}{2}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2}=\frac{12}{2}=6.

Para resolver problemas

Para resolver alguns problemas que envolvem PA é conveniente usar uma notação especial para os termos envolvidos. Para três termos consecutivos em PA podemos usar a notação (x-r, x, x+r). Se o problema der o valor da soma de três termos consecutivos dessa PA, basta fazer (x-r)+x+(x-r)=3x, e teremos apenas uma incógnita no problema. Basta então complementar com alguma outra informação do exercício.

Exemplo:

A soma de três termos consecutivos de uma PA é 12 e o produto entre eles é 48. Determine esses termos.

  • Podemos escrever esses termos com a notação (x – r, x, x + r).
  • Somando, obtemos 12=(x – r)+x+(x + r)=3x, ou seja, x=4.
  • Reescrevendo a notação, temos (4 – r, 4, 4 + r).
  • Agora para o produto obtemos 48=(4 – r).4.(4 + r) -> 12=(4 –r)(4 + r) -> 12=16 – r2 -> r2=16 – 12->r2 = 4->r = ± 2.
  • Observe que se r = –2 ou r =2, temos a PA (2, 4, 6)

Termos equidistantes

Termos equidistantes de uma PA são pares de termos constituintes de um intervalo na PA que estão a uma mesma distância dos extremos. Por exemplo, na PA (6, 8, 10, 12, 14, 16, 18), os termos a3 = 10 e a= 14 são equidistantes dos extremos (“duas casas até os extremos”) e os termos a2 = 8 e a= 16 são equidistantes dos extremos (“uma casa até os extremos”).

Todos os pares equidistantes dos extremos de uma PA, quando somados, dão o mesmo valor. Exemplo:

a3 = 10 e a= 14; 10+14=24;

a2 = 8 e a= 16; 8+16=24.

Soma da PA

A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})n}{2}.

Exemplo:

Determine a soma dos termos da seguinte PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).

Podemos calcular a soma de modo que

S_{n}=\frac{(2+40).20}{2}=

=\frac{(2+40).20}{2}=

=\frac{42.20}{2}=

=\frac{840}{2}=420.

Vale ressaltar que para uma PA infinita, não se pode calcular a soma, de modo que teremos de restringir a PA a um intervalo.

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