Sequências

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Na matemática, podemos definir sequência como uma forma de ordenar elementos de um conjunto (finito ou infinito) sob regência de determinado padrão estabelecido.

Exemplos:

Sequência dos elementos do conjunto dos naturais, tal que n\in \mathbb{N}^*:(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...). Padrão: ser natural e diferente de zero (representado pelo asterisco *).

Sequência dos números naturais ímpares: (1,3,5,7,9,11,13, ...). Padrão: ser ímpar.

Sequência finita

Podemos classificar como sequência finita a sequência que tenha um elemento primário e outro elemento máximo (último da sequência).

Exemplo:

Números primos entre 2 e 29: (3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23).

Sequência infinita

Podemos classificar uma sequência como infinita se todo termo dessa sequência possuir um sucessor (próximo elemento), de forma que nunca chegaremos ao último termo pois este possuirá um termo seguinte.

Exemplos:

Números naturais: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...)

Números primos: (2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...)

Forma geral de uma sequência

Como dissemos anteriormente, a sequência é uma forma de ordenar elementos de um conjunto. Portanto, temos a possibilidade de representar a sequência fazendo correspondência de seus elementos com os elementos de uma sequência genérica A_n=a_1, a_2, a_3, a_4, a_5.\hspace{2}...\hspace{2}.a_n, em que cada elemento é a mais um índice. Por exemplo:

(1, 3, 5, 7, 9) = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5), em que

a_1 = 1;

a_2 = 3;

a_3 = 5;

a_4 = 7;

a_5  = 9.

Termo geral de uma sequência

Os elementos de uma sequência podem ser apresentados através de uma fórmula ou termo geral tal que, dado um índice, podemos chegar a qualquer elemento dessa sequência. Por exemplo, a sequência (5, 7, 9, 11, 13, ...) pode ser representada pela fórmula ou termo geral:

a_n=2n+3, com n começando com 1.

Nem toda sequência pode ser representada por um termo geral. Por exemplo a sequência dos números primos, (2, 3, 5, 7, 11, ...) ainda não tem representação por termo geral. Quem conseguir representar essa sequência por uma fórmula geral será conhecido mundialmente pela façanha.

Representação por recorrência / lei de recorrência

A representação por recorrência de uma sequência é a forma de encontrar o próximo elemento tomado o anterior ou outro elemento da sequência.

Considere a sequência definida por a_{n-1}=a_n+3, na qual a_1=4. Podemos observar que cada termo, exceto o primeiro, é igual ao seu antecessor somado a 3 unidades:

a_1=4;

n=1\rightarrow a_{1+1}=a_1+3 \rightarrow a_2=4+3=7;

n=2\rightarrow a_{2+1}=a_2+3 \rightarrow a_3=7+3=10;

n=3 \rightarrow a_{3+1}=a_3+3 \rightarrow a_4=10+3=13.

Portanto a sequência pode ser escrita como (4, 7, 10, 13, ...).

Somatório

O somatório de uma sequência nada mais é do que uma expressão reduzida para a soma de n termos de uma sequência, dado um ponto inicial para a adição.

Podemos representar o somatório pela letra grega \sum.

Exemplo:

Para a sequência A_6=(1,3,4,7,9,11), a soma dos termos é dada por:

S_6=1+3+5+7+9+11=36, ou, \sum_{i=1}^{n=6}=1+3+5+7+9+11=36, onde n representa a posição do último termo da soma e i representa a posição do primeiro termo da soma.

De forma geral, temos que:

S_n=a_1+b_2+a_3+a_4+...+1_n

Produtório

O produtório de uma sequência, representado pela letra grega , é dado como um produto de n termos de uma sequência.

Exemplo:

Para a sequência A_6=(1,3,5,7,9,11), o produto dos termos é dado por:

P_6=1.3.5.7.9.11=10395, ou P_6=\prod_{k=1}^{n=6}=1.3.5.7.9.11=10395, onde n representa a posição do último termo do produto e i representa a posição do primeiro termo do produto.

De forma geral, temos que:

P_n=a_1.a_2.a_3.a_4.a_5.\hspace{2}...\hspace{2}.a_n

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