Determinantes

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O determinante de uma matriz é um número real associado a ela, sendo que este determinante só é definido para matrizes quadradas. Podemos utilizar este número para determinar se a matriz tem ou não inversa, por exemplo.

Assim, indicamos como “det(M)” ou “det M” o determinante da matriz M de ordem n. Podemos também indicar o determinante pelo uso de barras verticais entre os elementos da matriz M:

 

M=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}

 

det(M)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}

 

Perceba que a matriz é representada com seus elementos entre colchetes, enquanto seu determinante usa apenas as barras verticais.

Determinante da matriz de ordem n = 1

O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao seu único elemento.

Exemplo:

A=[a_{11}]

det(A)=a_{11}

Determinante de matriz de ordem n = 2

Uma matriz de ordem n = 2 é uma matriz que contém duas linhas e duas colunas, ou seja, 2 x 2. O determinante de uma matriz 2 x 2 é calculado através de três passos: primeiro, multiplicar os valores da diagonal principal; segundo, multiplicar os valores da diagonal secundária; por fim, subtrair o resultado obtido no passo 2 do resultado obtido no passo 1.

Exemplo:

Calcular o determinante da matriz A, abaixo.

A=\begin{bmatrix} 2 & 5\\ 7 & 3 \end{bmatrix}

 

Passo 1 (multiplicação dos elementos da diagonal principal): 2.3 = 6

Passo 2 (multiplicação dos elementos da diagonal secundária): 5.7 = 35

Passo 3 (subtração): 6 – 35 = -29

Portanto: det(A) = -29

Em resumo, atribuímos um sinal positivo ao produto dos elementos da diagonal principal, um negativo ao produto dos elementos da diagonal secundária e realizamos a soma desses dois valores.

Determinante de matriz de ordem n = 3

Uma matriz de ordem n = 3 é uma matriz que contém três linhas e três colunas, ou seja, 3 x 3. O determinante de uma matriz 3 x 3 é calculado por meio de um dispositivo prático conhecido como regra de Sarrus, que pode ser utilizado de três formas: pela repetição das duas primeiras colunas da matriz, pela repetição das duas primeiras linhas da matriz ou, ainda, sem a repetição dos elementos.

F1) Repetição das duas primeiras colunas

I) Copiamos as duas primeiras colunas no lado direito dos elementos originais da matriz

det(A)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2& 5 & 6\\ 2 & 5 & 8 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & 5\\ 2& 5 \end{matrix}

 

II) Calculamos a multiplicação em diagonal da esquerda para a direita. Para facilitar, traçamos setas diagonais para indicar quais multiplicações estamos fazendo. Essas primeiras multiplicações são equivalentes à multiplicação dos elementos da diagonal principal das matrizes 2 x 2 e, assim, atribuímos um valor positivo a elas:

Multiplicação da regra de Sarrus correspondente à diagonal principal

1.5.8=+40

2.6.2=+24

3.2.5=+30

 

III) Calculamos a multiplicação em diagonal da direita para a esquerda. Essas multiplicações são equivalentes à multiplicação dos elementos da diagonal secundária das matrizes 2 x 2 e, assim, atribuímos um valor negativo a elas:

Multiplicação da regra de Sarrus correspondente à diagonal secundária

-(2.2.8)=-32

-(1.6.5)=-30

-(3.5.2)=-30

 

IV) Somamos todos os resultados:

40+24+30=94

-32-30-30=-92

94 – 92 = 2

F2) Repetição das duas primeiras linhas

I) Copiamos as duas primeiras linhas abaixo dos elementos originais da matriz

Repetição de linhas para a Regra de Sarrus

II) Calculamos a multiplicação em diagonal da esquerda para a direita, atribuindo um valor positivo.

Multiplicação da regra de Sarrus correspondente à diagonal principal

1.5.8=+40

2.5.3=+30

2.2.6=+24

 

III) Calculamos a multiplicação em diagonal da direita para a esquerda, atribuindo um sinal negativo a elas.

Multiplicação da regra de Sarrus correspondente à diagonal secundária

-(2.5.3)=-30

-(6.5.1)=-30

-(2.2.8)=-32

 

IV) Somamos todos os resultados:

40+24+30=94

-32-30-30=-92

94 – 92 = 2

F3) Sem repetição dos elementos

Uma outra forma de executar o dispositivo prático não necessita da repetição dos elementos, mas exige a multiplicação dos elementos sempre 3 por vez, ainda conservando a regra dos sinais positivos para multiplicações da esquerda para a direita e sinal negativo para multiplicações da direita para a esquerda. Vejamos um exemplo a seguir.

Demonstração da Regra de Sarrus

P1 = 1.5.8 + 2.6.2 + 3.2.5 = 40 + 24 +30 = 94

Demonstração da Regra de Sarrus

P2 = -3.5.2 – 6.5.1 – 8.2.2 = -30 – 30 – 32 = -92

det = 94 – 92 = 2

Menor complementar

Seja aij um elemento localizado na linha i e coluna j da matriz A de ordem n. Define-se menor complementar de aij como o determinante da matriz resultante da exclusão da linha i e coluna j da matriz A. Dessa forma, podemos concluir que cada elemento de uma matriz quadrada possui um menor complementar.

Exemplo:

Calcular o menor complementar do elemento a22 = 2 da matriz

A=\begin{bmatrix} 1 &-3 &4 \\ 0 &2 &-2 \\ 2 &-1 &3 \end{bmatrix}

 

Primeiro, devemos excluir a linha e coluna correspondentes a esse elemento:

Exclusão de linhas e colunas para cálculo do menor complementar

Matriz resultante: A^{'}=\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 2& 3 \end{bmatrix}

 

Menor complementar de a22:

det(A’) = 1.3 – 2.4 = 3 – 8 = -5

Por fim, o menor complementar de a22 é -5.

Complemento algébrico (cofator)

O complemento algébrico, ou cofator, relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada A de ordem n, é o número Aij definido como:

Aij = (-1)i+j . Dij

 

Em que i e j são a linha e a coluna, respectivamente, da matriz A e Dij é o menor complementar relativo ao elemento aij. Concluímos, então, que há, também, um cofator para cada elemento da matriz quadrada A.

Exemplo:

Dada a matriz M, abaixo, devemos identificar qual é o cofator do elemento a23:

M=\begin{bmatrix} 4 &3 &2 \\ 2& 1& 5\\ 7& 6 &8 \end{bmatrix}

 

Queremos determinar o cofator do elemento a23. Dessa forma, temos que i = 2 e j = 3. Então, primeiro, teremos que eliminar a 2ª linha e a 3ª coluna de M, para o cálculo do menor complementar:

Exclusão de linhas e colunas para cálculo do menor complementar

Matriz resultante:M^{'}=\begin{bmatrix} 4 &3\\ 7&6\\\end{bmatrix}

 

Menor complementar:

det(M’) = 4.6 – 3.7 = 3

Cofator:

A23 = (-1)2+3.det(M’) = -1.3 = -3

Portanto, o cofator do elemento a23 é:

A23 = – 3.

Teorema de Laplace

Segundo o Teorema de Laplace, o determinante de uma matriz quadrada Mnxn=[aij] (n ≥ 2) é obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer da matriz M pelos seus respectivos cofatores. Ou seja, fixando, j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ n, temos:

 

det(M)=\sum\begin{matrix} n\\ i=1\end{matrix}a_{ij}A_{ij}

 

Ou seja, temos o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até n, de uma linha ou coluna de índice j.

Exemplo:

Calcular o determinante da matriz A, abaixo, usando o teorema de Laplace.

Determinante da matriz usando o teorema de Laplace.

Escolhendo a segunda linha da matriz, temos

det(A) = 5.A21 + 0.A22 + 1.A23 + (-3).A24.

Vamos calcular os cofatores:

A_{21}=(-1)^{2+1}.\begin{bmatrix} 1 &6 &0 \\ 5 &1 &8 \\ 4 &-2 &-7 \end{bmatrix}=-411

 

A_{22}=(-1)^{2+2}.\begin{bmatrix} 2 &6 &0 \\ -2 &1 &8 \\ 11 &-2 &-7 \end{bmatrix}=462

 

A_{23}=(-1)^{2+3}.\begin{bmatrix} 2 &1 &0 \\ -2 &5&8 \\ 11 &4 &-7 \end{bmatrix}=60

 

A_{23}=(-1)^{2+3}.\begin{bmatrix} 2 &1 &6 \\ -2 &5&1 \\ 11 &4 &-2 \end{bmatrix}=-399

 

Para finalizar, calculamos o determinante:

det(A) = 5.A21 + 0.A22 + 1.A23 + 3.A24

det(A) = 5.(–411) + 0.(462) + 1.(60)

+ (–3).(–399)

det(A) = –2055 + 0 + 60 + 1197

det(A) = – 798.

 

Destacamos que para o cálculo de determinantes pelo Teorema de Laplace, é aconselhável escolher a linha ou coluna que possua mais elementos nulos.

Propriedades dos determinantes

(P1) Matriz transposta

O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:

det(M) = det(Mt).

Exemplo:

M=\begin{bmatrix} 7 & 5\\ 2&1 \end{bmatrix}

det(M) = 7.1 – 2.5 = -3

 

M^{t}=\begin{bmatrix} 7 & 2\\ 5&1 \end{bmatrix}

det(Mt) = 7.1 – 2.5 = -3

 

(P2) Fila nula

O determinante de uma matriz que tenha linha ou coluna composta exclusivamente de elementos nulos é igual a zero. Essa propriedade advém do fato que cada termo, no cálculo do determinante, será multiplicado por zero, resultando em um determinante nulo.

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} 5 &0 &6 \\ 7& 0&1 \\ 2& 0 &2 \end{bmatrix}

 

    \begin{flalign*}det(A) = 5.0.2 + 0.1.2 + 6.0.7 - 6.0.2 - 1.0.5 - 2.7.0 = 0\end{flalign*}

(P3) Multiplicação de uma fila por uma constante

Multiplicando uma linha ou coluna por uma constante k, o determinante da matriz resultante (A’) será o determinante da matriz original (A) multiplicado por essa constante: det(A’) = k.det(A).

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13} \\ a_{21}& a_{22}&a_{23} \\ a_{31}& a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}

 

A^{'}=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}&k.a_{13} \\ a_{21}& a_{22}&k.a_{23} \\ a_{31}& a_{32} &k.a_{33} \end{bmatrix}

 

Para calcular o determinante dessa matriz utilizaremos a regra de Sarrus:

det(A) = a11.a22 .a33 + a12 .a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12

det(A’) = a11.a22.k.a33 + a12.k.a23.a31 + k.a13.a21.a32 – a31.a22.k.a13 – a32.k.a23.a11 – k.a33.a21.a12

det(A’) = k.(a11.a22.a33 + a12 .a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12)

det(A’) = k. det(A)

(P4) Troca de filas paralelas

Essa propriedade recebe também o nome de Teorema de Bézout, segundo o qual temos que se trocarmos duas filas paralelas da matriz A de lugar, criando uma nova matriz A’, iremos trocar o sinal do determinante: det(A’)=-det(A)

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} 4 &6 \\ 8&3 \end{bmatrix}

 

A^{'}=\begin{bmatrix} 8 &3 \\ 4&6 \end{bmatrix}

det(A) = 8.6 – 3.4 = 20

 

A matriz A’ é uma cópia da A, mas as linhas 1 e 2 foram trocadas, logo: det(A) = – det(A’).

 (P5) Filas paralelas iguais

Se uma matriz possui duas linhas ou colunas formadas por elementos iguais, seu determinante será zero.

A matriz A, abaixo, apresenta duas linhas iguais. Vamos calcular seu determinante:

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{11} & a_{12} \end{bmatrix}

det(A) = a11.a12 – a11.a12

det(A) = 0

 

(P6) Teorema de Cauchy

Segundo o Teorema de Cauchy, a soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz pelos cofatores de uma linha (ou coluna) paralela é igual a zero.

Exemplo:

A^{'}=\begin{bmatrix} 1 &2\\ 0& 4 \end{bmatrix}

 

Vamos calcular os cofatores dos elementos da segunda linha (a21 = 0 e a22 = 4):

A21 = (-1)2+1|2| = -2

A22 = (-1)2+2|1| = 1

Agora, vamos multiplicar esses cofatores pelos elementos da linha paralela (a primeira linha) e somar os resultados:

A21.a11 + A22.a12 = -2.1 + 1.2 = 0

(P7) Filas paralelas proporcionais

Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

A^{'}=\begin{bmatrix} b_{11} &k.b_{11} \\ b_{21}& k.b_{21}\\  \end{bmatrix}

 

Podemos ver que a segunda coluna da matriz B é múltipla da primeira coluna. Calcularemos seu determinante:

det(B) = b11.k.b21 – b11.k.b21

det(B) = k(b11.b21 – b11.b21)

det(B) = k.0

det(B) = 0

 

(P8) Adição de determinantes

Seja M uma matriz quadrada em que uma de suas colunas é formada pela adição de dois elementos (aij e bij, com j fixo), tal que:

M=\begin{bmatrix} m_{11} & a_{12}+b_{12} &m_{13} \\ m_{21} & a_{22}+b_{22} & m_{23}\\ m_{31} & a_{23}+b_{23} &m_{33} \end{bmatrix}

Definimos as matrizes M’ e M’’ como:

 

M^{'}=\begin{bmatrix} m_{11} & a_{12} &m_{13} \\ m_{21} & a_{22} & m_{23}\\ m_{31} & a_{23} &m_{33} \end{bmatrix} e

 

M^{''}=\begin{bmatrix} m_{11} & b_{12} &m_{13} \\ m_{21} & b_{22} & m_{23}\\ m_{31} & b_{23} &m_{33} \end{bmatrix}

 

Atendidas essas condições, o determinante da matriz M será tal que: det(M)=det(M’)+det(M’’).

(P9) Teorema da combinação linear

Quando uma matriz possuir linha (ou coluna) que seja uma combinação linear de outras linhas (ou colunas), seu determinante será zero.

Uma linha será combinação linear de outras se seus elementos forem da forma: acombinação=c1.alinha1+c2.alinha2+…+cn.alinhan, em que c1, c2, …, cn são constantes quaisquer diferentes de zero. O mesmo raciocínio pode ser aplicado às colunas.

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} 1 &4 &2 \\ 2 &1 &4 \\ 3& 2& 6 \end{bmatrix}

 

Observe que cada elemento da 3ª coluna é igual aos elementos da 1ª coluna multiplicados por 2 e somados com os elementos da 2ª coluna multiplicados por 3, ou seja, ai3 = 2.ai1 + 3.ai3:

8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6

12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6

5 = 2(4) + 3(–1) = 8 – 3

Portanto, det(A) = 1.1.6 + 4.4.3 + 2.2.2 – 2.1.3 – 4.2.1 – 6.2.4 = 0.

(P10) Teorema de Jacobi

De acordo com o Teorema de Jacobi, se substituirmos uma fila de uma matriz quadrada qualquer, pela soma desta fila com um múltiplo de uma fila paralela, não há alteração do valor do determinante da matriz.

Exemplo:

M=\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &2 \\ 2& 4& 3 \end{bmatrix} , det(M) =\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &1 &2 \\ 2&4& 3 \end{bmatrix} = 9

 

Substituindo a 1ª coluna de M pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

\begin{bmatrix} 1 +2.2 &2 &3\\ 2 +1.2 &1 &2\\ 3+4.0& 4&3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 &2 &3\\ 4 &1 &2\\ 10& 4&3 \end{bmatrix}

 

\begin{bmatrix} 5 &2 &3\\ 4 &1 &2\\ 10& 4&3 \end{bmatrix}=9

 

Concluímos que o determinante não foi alterado.

(P11) Matriz Triangular

O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal:

    \begin{flalign*}\begin{bmatrix} 1&0 &0\\ 2&1 &0\\ 2& 4&3 \end{bmatrix}=1.1.3 + 0.0.2 + 0.4.2 - 0.1.2 - 0.4.1 - 3.2.0\end{flalign*}

 

\begin{bmatrix} 1&0 &0\\ 2&1 &0\\ 2& 4&3 \end{bmatrix}=1.1.3 =3

 

(P12) Teorema de Binet

O determinante de um produto de matrizes quadradas é o produto dos seus determinantes: det(A.B) = det(A).det(B).

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} 1 &2&0 \\ 0 &3 &1 \\ 1& 1& 0 \end{bmatrix}, det(A)=1

 

B=\begin{bmatrix} 1 &1&1 \\ 0 &1 &0 \\ 3& 1&1 \end{bmatrix}, det(B)=2

 

Devemos calcular o produto das matrizes A por B

A.B=\begin{bmatrix} 1 &2&0 \\ 0 &3 &1 \\ 1& 1&0 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 &1&1 \\ 0 &1 &0 \\ 3& 1&1 \end{bmatrix}

 

A.B=\begin{bmatrix} 1 &3&1 \\ 3 &4 &1 \\ 1& 2&1 \end{bmatrix}

det(A.B) = -2

Ou seja, det(A.B) = det(A).det(B)

 

Regra de Chió

A Regra de Chió é usada para calcular os determinantes de matrizes com ordem maior que três. Ela nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n através de uma matriz de ordem (n-1), uma ordem abaixo. Para isso, uma condição importante deve ser atendida: o primeiro elemento da matriz, o elemento a11, deve ser igual a 1. Vejamos como utilizar a Regra de Chió no exemplo abaixo.

Exemplo: Calcular o determinante da matriz A5×5, abaixo, utilizando a regra de Chió.

A=\begin{bmatrix} 1 &2 &5 &3 &2 \\ 1 &3 &7 &3 &4 \\ 0 &5 &2 &2 &1 \\ 1 &3 &0 &1 &2 \\ 0 &6 &7 &4 &7 \end{bmatrix}

 

Veja que o primeiro elemento da matriz é 1 (a11=1), logo, é possível aplicar a regra de Chió. Para isso, iremos eliminar a primeira linha e coluna da matriz.

Exclusão de linhas segundo a regra de Chió

A nova matriz, agora de ordem 4, é composta pela subtração de cada elemento da matriz resultante pelo produto dos elementos da sua linha e coluna que foram eliminados:

A_{4x4}=\begin{bmatrix} 3-1.2 &7-1.5 &3-1.3 &4.-1.2 \\ 5-0.2 &2-0.5 &2-0.3 &1-0.2 \\ 3-1.2 &0-1.5 &1-1.3 &2-1.2 \\ 6-0.2 &7-0.5 &4-0.3 &7-0.2 \\ \end{bmatrix}

 

A_{4x4}=\begin{bmatrix} 1&  2& 0 &2 \\ 5 &2 &2 &1 \\ 1 &-5 &-2 &0\\ 6 &7 &4 &7\\ \end{bmatrix}

Como o elemento a11 é novamente igual a 1, podemos utilizar a regra de Chió novamente

Regra de Chió

 

A_{3x3}=\begin{bmatrix} 2-5.2 &2-5.0 &1-5.2 \\ -5-1.2 & -2-1.0 &0-1.2 \\ 7-6.2 & 4-6.0 & 7-6.2 \end{bmatrix}

 

A_{3x3}=\begin{bmatrix} -8 &2 &-9 \\ -7 & -2&-2 \\ -5 & 4 & -5 \end{bmatrix}

Nessa matriz podemos utilizar a regra de Sarrus para, então, obter o determinante da matriz inicial A5×5. Note que nenhuma das matrizes é igual, mas, pela regra de Chió, podemos afirmar que o determinante de todas elas é o mesmo.

det (A3×3)=148

det (A5×5)=148

Matriz de Vandermonde (matriz das potências)

A matriz de Vandermonde é uma matriz notável, tal que em cada linha, após a primeira, temos os mesmos elementos elevados a uma potência que, por sua vez, aumenta a cada linha.

V=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a^{2}_{11} &a^{2}_{12} & a^{2}_{13} \end{bmatrix}

 

Para calcular seu determinante, basta fazer o produto de todas as diferenças possíveis de seus elementos característicos (os elementos da segunda linha). Por exemplo, para a matriz de ordem 3, acima, o determinante seria da forma: det(V) = (a12-a11).(a13-a12).(a13-a11).

Cálculo da matriz inversa por meio de determinantes

Matriz dos cofatores

Seja uma matriz A de elementos aij, chamamos de matriz de cofatores (A’) de A a matriz que contém todos os cofatores associados aos elementos de A:

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}  A^{'}=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} &A_{23} \\ A_{31} & A_{32} &A_{33} \end{bmatrix}

 

Matriz adjunta

Seja A’ a matriz de cofatores, a matriz adjunta (cuja notação é ) é definida como sendo a transposta de A’, ou seja:  .

Exemplo:

Se a matriz dos cofatores de A for a matriz A^{'}=\begin{bmatrix} -1&3 & -6\\ 2 & 7 &5 \\ 3 & 0&0 \end{bmatrix}

então a matriz adjunta será:

 

A^{'}=\begin{bmatrix} -1&3 & 3\\ 3& 7 &0 \\ -6 & 5&0 \end{bmatrix}

Cálculo da inversa

Calculada a matriz adjunta, a inversa de uma matriz quadrada A (cuja notação é A-1) será a sua adjunta dividia pelo seu determinante, desde que seu determinante seja diferente de zero:

 

 A^{-1}=\frac{1}{detA}\bar{A}

 

Corolário

Dado M uma matriz quadrada de ordem. A inversa de M existe, com a condição de que det M 0.

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