Matriz

Voltar

Matriz é uma tabela que dispõem os elementos em linhas e colunas, tal que m (número de linhas) e n (número de colunas) são compostos por números naturais e não nulos.

Definição de matriz

Define-se Amxn como a matriz com o total de m linhas e n colunas e aij como um de seus elementos, que está localizado na linha i e coluna j.  A ordem de uma matriz com m linhas e n colunas é m x n, pronunciado como “m por n”, sendo que o primeiro número sempre indica o número de linhas da matriz.

Exemplos:

A matriz A abaixo é uma matriz (2×2), ou seja, possui duas linhas e duas colunas.

Linhas e colunas de uma matriz 2x2
Linhas e colunas de uma matriz 2×2

A matriz B abaixo é uma matriz (3×2), ou seja, possui três linhas e duas colunas.

Linhas e colunas de uma matriz 3x2
Linhas e colunas de uma matriz 3×2

Lei de formação de matrizes

Toda matriz pode ser descrita por uma regra/lei de formação. Estas leis descrevem os elementos da matriz segundo a posição que esses ocupam nas linhas e colunas. Na notação das leis de formação, “i” representa a linha e ”j” a coluna, sendo essa a notação mais usada na maioria das leis.

Exemplo:

Escreva a matriz A=(aij)2×3 em que aij = 2i + 3j.

Já sabemos que a matriz A contém 2 linhas e 3 colunas:

 

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}

 

Segundo a fórmula: aij = 2 vezes o i  + três vezes o j, em que o primeiro índice representa o número da linha e o segundo índice, a coluna.

a11 = 2.1 + 3.1 = 5

a12 = 2.1 + 3.2 = 8

a13 = 2.1 + 3.3 = 11

a21 = 2.2 + 1.3 = 7

a22 = 2.2 + 2.3 = 10

a23 = 2.2 + 3.3 = 13

 

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 & 8 & 11\\ 7 &10 & 13 \end{bmatrix}

Classificação das matrizes

Matriz linha

Como o nome já nos propõem, essa matriz será formada por uma única linha.

Exemplo:

A = [3 9 7]

Matriz coluna

De forma análoga à matriz linha, essa matriz será formada por uma única coluna.

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} 1\\ 2  \end{bmatrix}

Matriz unitária

A matriz terá apenas um elemento.

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} 7  \end{bmatrix}

Matriz nula

Recebe o nome de matriz nula toda matriz que, independentemente do número de linhas e colunas, possua todos os seus elementos iguais a zero.

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Matriz quadrada

A matriz quadrada é aquela em que o número de colunas é igual ao número de linhas.

Exemplo:

A_{(3\times 3)}=\begin{bmatrix} 7 & 6 & 4\\ 4 & 9 &3\\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}

 

A matriz A possui 3 linhas e 3 colunas.

Quando a matriz é quadrada, existe uma diagonal secundária e uma diagonal principal, conforme esquema abaixo.

Diagonais principal e secundária de uma matriz quadrada
Diagonais principal e secundária de uma matriz quadrada

Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não.

Exemplo:

Exemplo de uma matriz diagonal
Exemplo de uma matriz diagonal

Matriz identidade (ou matriz unidade)

Para que uma matriz seja considerada uma matriz identidade, ela tem que ser quadrada. Os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a 0.

Exemplo:

A_{(3\times 3)}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Igualdade entre matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se, e somente se, seus elementos correspondentes forem iguais.

Exemplo:

A_{(3\times 2)}=\begin{bmatrix} -4 & 7\\ 8 & 3\\ 9 & 1 \end{bmatrix} = B_{(3\times 2)}=\begin{bmatrix} -4 & 7\\ 8 & 3\\ 9 & 1 \end{bmatrix}

Adição e subtração de matrizes

Para fazer essas operações, é necessário que as matrizes sejam de mesma ordem.

Adição

Cada elemento de uma matriz é somado com o seu correspondente da outra matriz (o elemento que está na mesma posição – linha e coluna).

Exemplo:

\begin{bmatrix} 2 &3\\ 4 &1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 &-1\\ 2 &3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &2\\ 6 &4 \end{bmatrix}

2 + 0 = 2

3 + (-1) = 2

4 + 2 = 6

1 + 3 = 4

Subtração

Para efetuar a subtração, o procedimento a ser feito é somar a matriz A com a matriz oposta de B.

Exemplo:

Subtraia a matriz B=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ -3 & 5\\ -1& 1 \end{bmatrix} da matriz B=\begin{bmatrix} 9 & 6\\ 4 & 0\\ -4& 1\end{bmatrix}, ambas de ordem 3×2.

 

A-B=\begin{bmatrix} 9 & 6\\ 4 & 0\\ -4 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 4\\ -3 & 5\\ -1 & 1 \end{bmatrix}

 

A-B=\begin{bmatrix} 9 & 6\\ 4 & 0\\ -4 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & -4\\ 3 & -5\\ 1 & -1 \end{bmatrix}

 

A-B=\begin{bmatrix} 7 & 2\\ 7 & -5\\ -5 & 2 \end{bmatrix}

 

Produto de número por matriz

Dada uma matriz A = (aij) de ordem m x n e um número real k, temos que k.A é uma matriz B = (bij) de ordem m x n, tal que bij = k.aij.

Exemplo:

Encontre o valor de 2A – 2B:

A_{(2x2)}=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix} e B_{(2x2)} = \begin{bmatrix} 1 &0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

 

2.A=2.\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix} = 2.\begin{bmatrix} 2.2 & 1.2\\ 1.2 & 2.2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 &2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}

 

2.B=2.\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 2.\begin{bmatrix} 1.2 & 0.2\\ 0.2 &1.2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}

 

2A-2B=\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 &0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &2\\ 2 & 2 \end{bmatrix}

Produto de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo m x n e B uma matriz do tipo n x p, define-se a matriz C, do tipo m x p, como o produto da matriz A pela matriz B. Cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e somando os produtos obtidos.

Exemplo:

Seja A(3×2) e B(2×2). A.B=C(3×2) tal que:

A.B=\begin{bmatrix} 2 &3 \\ 1& 0\\ 4 &5 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 &1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}=C

 

C=\begin{bmatrix} 2.3+3.2 & 2.1+3.4\\ 1.3+0.2 & 1.1+0.4\\ 4.3+5.2 & 4.1+5.4 \end{bmatrix}

 

C=\begin{bmatrix} 12 & 14\\ 3 & 1\\ 22& 24 \end{bmatrix}

O produto entre duas matrizes A e B está definido se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

Propriedades da multiplicação de matrizes

P1) Associativa: determina que você pode alterar o agrupamento em torno de uma multiplicação de matrizes. Multiplicar a matriz A pela matriz B e depois multiplicar o resultado pela matriz C, é o mesmo que multiplicar a matriz B pela matriz C e então multiplicar o resultado pela matriz A à esquerda: (AB)C=A(BC).

Exemplo:

Considere A=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 2\\ \end{bmatrix} , B =\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 1 & 4\\ \end{bmatrix} e C =\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\\ \end{bmatrix}

Podemos calcular (AB)C da seguinte forma:

(AB)C =(\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 2\\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 1 & 4\\ \end{bmatrix}).\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\\ \end{bmatrix}

 

(AB)C= \begin{bmatrix} 7 & 22\\ 8 & 20\\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 73 & 44\\ 68 & 40\\ \end{bmatrix}

 

E podemos encontrar A(BC):

A(BC) =\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 2\\ \end{bmatrix}.(\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 1 & 4\\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\\ \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 2\\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 21 & 12\\ 13 & 8\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 73 & 44\\ 68 & 40\\ \end{bmatrix}

 

Resulta em dois produtos iguais.

P2) Não comutativa: na multiplicação de matrizes, a ordem em que as matrizes são multiplicadas faz diferença. Como AB BA, a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Exemplo:

Considere A=\begin{bmatrix} 3 &4 \\ 1& 2 \end{bmatrix} e B =\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}

 

AB=\begin{bmatrix} 3 &4 \\ 1& 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}

 

AB=\begin{bmatrix} 3.6+4.3 & 3.2+4.2 \\ 1.6+2.3 & 1.2+2.2 \end{bmatrix}

 

AB = \begin{bmatrix} 30 & 14 \\ 12 & 6 \end{bmatrix}

 

BA=\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 &4 \\ 1& 2 \end{bmatrix}

 

BA=\begin{bmatrix} 6.3+2.1 & 6.4+2.2 \\ 3.3+2.1 & 3.4+2.2 \end{bmatrix}

 

BA=\begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 11 & 16 \end{bmatrix}

Veja que AB BA.

 

P3) Distributiva: se uma matriz A for distribuída pelo lado esquerdo, certifique-se de que cada produto na soma resultante terá A à sua esquerda! Da mesma maneira, se a matriz A for distribuída pelo lado direito, certifique-se de que cada produto na soma resultante terá A à sua direita.

A(B+C) = AB + AC,

(B+C)A = BA + CA.

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} 2& 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} e C =\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}

 

A(B+C)=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}(\begin{bmatrix} 3& 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix})

 

A(B+C)=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 4 &5\\ 3 &3 \end{bmatrix}

 

A(B+C)=\begin{bmatrix} 11& 13 \\ 18 & 21 \end{bmatrix}

 

A(B+C)=AB+AC

AB+AC=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

+\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}

 

AB+AC=\begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 5 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 9 & 16 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11& 13 \\ 18 & 21 \end{bmatrix}

Matriz identidade como elemento neutro

Seja uma matriz A, com elementos aij, de ordem m x n, In a matriz identidade com mesmo número de colunas de A e Im a matriz identidade com mesmo número de linhas de A, então:

A.In = A

Im.A = A

Ou seja, se multiplicarmos uma matriz qualquer pela matriz identidade, o resultado dessa multiplicação será a própria matriz. Assim, dizemos que a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes.

Matriz transposta

A matriz transposta é representada pela letra t sobrescrita à letra que representa a matriz (At).  Determinar a transposta de uma matriz é reescrevê-la de forma que suas linhas e colunas troquem de posições ordenadamente: a primeira linha é reescrita como a primeira coluna, a segunda linha é reescrita como a segunda coluna e assim por diante, até que se termine de reescrever todas as linhas na forma de coluna.

A ordem da matriz transposta é inversa à ordem da matriz original. Por exemplo, se a matriz A é de ordem 3 por 2, isto é, A(3×2), então a matriz transposta de A será de ordem 2 por 3, isto é, At (2×3).

Exemplo:

M_{(3\times 2)}=\begin{bmatrix} -1 & 8\\ 2 & 5\\ 4 & 7 \end{bmatrix}

 

M^{t}_{(2\times 3)}\begin{bmatrix} -1 & 2 & 4\\ 8 & 5& 7 \end{bmatrix}

Propriedades da matriz transposta

P1) A transposta de uma matriz transposta é a matriz original, isto é, (At)t = A;

P2) A transposta do produto de um escalar k por uma matriz é igual ao produto desse escalar pela transposta da matriz, isto é: (k.A)t = k.At

P3) A transposta da soma de duas matrizes de mesma ordem é igual a soma das transpostas das matrizes originais, isto é, (A+B)t = At +Bt

P4) A transposta da multiplicação de duas matrizes é igual a multiplicação das transpostas das matrizes originais mas trocando-se a ordem da multiplicação, isto é, (A.B)t = Bt.At

Matriz simétrica

Define-se matriz simétrica como a matriz quadrada de ordem n que é igual à sua matriz trasposta, ou seja, A=At.

Exemplo: 

 

Exemplo de matriz simétrica
Exemplo de matriz simétrica

A_{(3\times 3)}\begin{bmatrix} 3 & 5& 6\\ 5& 2 &4 \\ 6& 4 & 8 \end{bmatrix}

 

A^{t}_{(3\times 3)}\begin{bmatrix} 3 & 5& 6\\ 5& 2 &4 \\ 6& 4 & 8 \end{bmatrix}

 

Perceba que numa matriz simétrica, os elementos são simétricos com relação à diagonal principal, a12 = a21 = 5; a13 = a31 = 6; a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre aij = aji:

Matriz antissimétrica

A matriz antissimétrica é a matriz quadrada de ordem n tal que sua transposta é igual à sua matriz oposta, ou seja, At = -A.

Exemplo:

A=\begin{bmatrix} 0 & -5& 1\\ 5& 0 &0 \\ -1& 0 & 0 \end{bmatrix}

 

A^{t}=\begin{bmatrix} 0 & 5& -1\\ -5& 0 &0 \\ 1& 0 & 0 \end{bmatrix}

 

-A=\begin{bmatrix} 0 & 5& -1\\ -5& 0 &0 \\ 1& 0 & 0 \end{bmatrix}

 

Veja que At = -A.

Numa matriz antissimétrica, os elementos têm sinal oposto com relação à diagonal principal, a12 = -a21 = -5; a13 = -a31 = 1; a23 = -a32 = 0, ou seja, temos sempre aij = -aji:

Os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica são necessariamente nulos.

Matriz inversa

A matriz inversa A-1 da matriz quadrada A(nxn) é também uma matriz quadrada tal que A. A-1= A-1.A=In, em que In é a matriz identidade.

Exemplo:

A matriz inversa de A=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 5& 3 \\ \end{bmatrix} é A^{t}=\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -5& 2 \\ \end{bmatrix} porque

 

A.A^{-1}=\begin{bmatrix} 2& -1\\ 5& 3 \\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -5& 2 \\ \end{bmatrix}

A.A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}=I_{2}

 

A^{-1}.A=\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -5& 2 \\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix}  2& -1\\ 5& 3 \\ \end{bmatrix}

A^{-1}.A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}=I_{2}

 

É importante destacar que nem toda matriz é inversível. No wiki de determinantes mostraremos uma condição para a existência da matriz inversa.

Anterior Determinantes

Deixe um comentário