Matriz

porEquipe Realize Educação

Matriz é uma tabela que dispõem os elementos em linhas e colunas, tal que m (número de linhas) e n (número de colunas) são compostos por números naturais e não nulos.

Definição de matriz

Define-se A_mxncomo a matriz com o total de m linhas e n colunas e a_ij como um de seus elementos, que está localizado na linha i e coluna j. A ordem de uma matriz com m linhas e n colunas é m x n, pronunciado como “m por n”, sendo que o primeiro número sempre indica o número de linhas da matriz.

Exemplos:

A matriz A abaixo é uma matriz (2×2), ou seja, possui duas linhas e duas colunas.

Linhas e colunas de uma matriz 2x2 — Linhas e colunas de uma matriz 2×2

A matriz B abaixo é uma matriz (3×2), ou seja, possui três linhas e duas colunas.

Linhas e colunas de uma matriz 3x2 — Linhas e colunas de uma matriz 3×2

Lei de formação de matrizes

Toda matriz pode ser descrita por uma regra/lei de formação. Estas leis descrevem os elementos da matriz segundo a posição que esses ocupam nas linhas e colunas. Na notação das leis de formação, “i” representa a linha e ”j” a coluna, sendo essa a notação mais usada na maioria das leis.

Exemplo:

Escreva a matriz A=(a_ij)_2×3 em que a_ij= 2i + 3j.

Já sabemos que a matriz A contém 2 linhas e 3 colunas:

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}$

Segundo a fórmula: a_ij= 2 vezes o i + três vezes o j, em que o primeiro índice representa o número da linha e o segundo índice, a coluna.

a₁₁ = 2.1 + 3.1 = 5

a₁₂= 2.1 + 3.2 = 8

a₁₃= 2.1 + 3.3 = 11

a₂₁= 2.2 + 1.3 = 7

a₂₂= 2.2 + 2.3 = 10

a₂₃= 2.2 + 3.3 = 13

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 & 8 & 11\\ 7 &10 & 13 \end{bmatrix}$

Classificação das matrizes

Matriz linha

Como o nome já nos propõem, essa matriz será formada por uma única linha.

Exemplo:

A = [3 9 7]

Matriz coluna

De forma análoga à matriz linha, essa matriz será formada por uma única coluna.

Exemplo:

$A=\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}$

Matriz unitária

A matriz terá apenas um elemento.

Exemplo:

$A=\begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix}$

Matriz nula

Recebe o nome de matriz nula toda matriz que, independentemente do número de linhas e colunas, possua todos os seus elementos iguais a zero.

Exemplo:

$A=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Matriz quadrada

A matriz quadrada é aquela em que o número de colunas é igual ao número de linhas.

Exemplo:

$A_{(3\times 3)}=\begin{bmatrix} 7 & 6 & 4\\ 4 & 9 &3\\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}$

A matriz A possui 3 linhas e 3 colunas.

Quando a matriz é quadrada, existe uma diagonal secundária e uma diagonal principal, conforme esquema abaixo.

Diagonais principal e secundária de uma matriz quadrada

Matriz diagonal

Será uma matriz diagonal toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não.

Exemplo:

Matriz identidade (ou matriz unidade)

Para que uma matriz seja considerada uma matriz identidade, ela tem que ser quadrada. Os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a 0.

Exemplo:

$A_{(3\times 3)}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Igualdade entre matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se, e somente se, seus elementos correspondentes forem iguais.

Exemplo:

$A_{(3\times 2)}=\begin{bmatrix} -4 & 7\\ 8 & 3\\ 9 & 1 \end{bmatrix} = B_{(3\times 2)}=\begin{bmatrix} -4 & 7\\ 8 & 3\\ 9 & 1 \end{bmatrix}$

Adição e subtração de matrizes

Para fazer essas operações, é necessário que as matrizes sejam de mesma ordem.

Adição

Cada elemento de uma matriz é somado com o seu correspondente da outra matriz (o elemento que está na mesma posição – linha e coluna).

Exemplo:

$\begin{bmatrix} 2 &3\\ 4 &1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 &-1\\ 2 &3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &2\\ 6 &4 \end{bmatrix}$

2 + 0 = 2

3 + (-1) = 2

4 + 2 = 6

1 + 3 = 4

Subtração

Para efetuar a subtração, o procedimento a ser feito é somar a matriz A com a matriz oposta de B.

Exemplo:

Subtraia a matriz $B=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ -3 & 5\\ -1& 1 \end{bmatrix}$ da matriz $B=\begin{bmatrix} 9 & 6\\ 4 & 0\\ -4& 1\end{bmatrix}$ , ambas de ordem 3×2.

$A-B=\begin{bmatrix} 9 & 6\\ 4 & 0\\ -4 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 4\\ -3 & 5\\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 9 & 6\\ 4 & 0\\ -4 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & -4\\ 3 & -5\\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 7 & 2\\ 7 & -5\\ -5 & 2 \end{bmatrix}$

Produto de número por matriz

Dada uma matriz A = (a_ij) de ordem m x n e um número real k, temos que k.A é uma matriz B = (b_ij) de ordem m x n, tal que b_ij = k.a_ij.

Exemplo:

Encontre o valor de 2A – 2B:

$A_{(2x2)}=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ e $B_{(2x2)} = \begin{bmatrix} 1 &0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$2.A=2.\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix} = 2.\begin{bmatrix} 2.2 & 1.2\\ 1.2 & 2.2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 &2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

$2.B=2.\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 2.\begin{bmatrix} 1.2 & 0.2\\ 0.2 &1.2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

$2A-2B=\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 &0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &2\\ 2 & 2 \end{bmatrix}$

Produto de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo m x n e B uma matriz do tipo n x p, define-se a matriz C, do tipo m x p, como o produto da matriz A pela matriz B. Cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e somando os produtos obtidos.

Exemplo:

Seja A_(3×2) e B_(2×2). A.B=C_(3×2) tal que:

$A.B=\begin{bmatrix} 2 &3 \\ 1& 0\\ 4 &5 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 &1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}=C$

$C=\begin{bmatrix} 2.3+3.2 & 2.1+3.4\\ 1.3+0.2 & 1.1+0.4\\ 4.3+5.2 & 4.1+5.4 \end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 12 & 14\\ 3 & 1\\ 22& 24 \end{bmatrix}$

O produto entre duas matrizes A e B está definido se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

Propriedades da multiplicação de matrizes

P1) Associativa: determina que você pode alterar o agrupamento em torno de uma multiplicação de matrizes. Multiplicar a matriz A pela matriz B e depois multiplicar o resultado pela matriz C, é o mesmo que multiplicar a matriz B pela matriz C e então multiplicar o resultado pela matriz A à esquerda: (AB)C=A(BC).

Exemplo:

Considere $A=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 2\\ \end{bmatrix} , B =\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 1 & 4\\ \end{bmatrix}$ e $C =\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\\ \end{bmatrix}$

Podemos calcular (AB)C da seguinte forma:

$(AB)C =(\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 2\\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 1 & 4\\ \end{bmatrix}).\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\\ \end{bmatrix}$

$(AB)C= \begin{bmatrix} 7 & 22\\ 8 & 20\\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 73 & 44\\ 68 & 40\\ \end{bmatrix}$

E podemos encontrar A(BC):

$A(BC) =\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 2\\ \end{bmatrix}.(\begin{bmatrix} 3 & 6\\ 1 & 4\\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2\\ \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 2\\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 21 & 12\\ 13 & 8\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 73 & 44\\ 68 & 40\\ \end{bmatrix}$

Resulta em dois produtos iguais.

P2) Não comutativa: na multiplicação de matrizes, a ordem em que as matrizes são multiplicadas faz diferença. Como AB ≠ BA, a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Exemplo:

Considere $A=\begin{bmatrix} 3 &4 \\ 1& 2 \end{bmatrix}$ e $B =\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

$AB=\begin{bmatrix} 3 &4 \\ 1& 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

$AB=\begin{bmatrix} 3.6+4.3 & 3.2+4.2 \\ 1.6+2.3 & 1.2+2.2 \end{bmatrix}$

$AB = \begin{bmatrix} 30 & 14 \\ 12 & 6 \end{bmatrix}$

$BA=\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 &4 \\ 1& 2 \end{bmatrix}$

$BA=\begin{bmatrix} 6.3+2.1 & 6.4+2.2 \\ 3.3+2.1 & 3.4+2.2 \end{bmatrix}$

$BA=\begin{bmatrix} 20 & 28 \\ 11 & 16 \end{bmatrix}$

Veja que AB ≠ BA.

P3) Distributiva: se uma matriz A for distribuída pelo lado esquerdo, certifique-se de que cada produto na soma resultante terá A à sua esquerda! Da mesma maneira, se a matriz A for distribuída pelo lado direito, certifique-se de que cada produto na soma resultante terá A à sua direita.

A(B+C) = AB + AC,

(B+C)A = BA + CA.

Exemplo:

$A=\begin{bmatrix} 2& 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ e $C =\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

$A(B+C)=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}(\begin{bmatrix} 3& 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix})$

$A(B+C)=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 4 &5\\ 3 &3 \end{bmatrix}$

$A(B+C)=\begin{bmatrix} 11& 13 \\ 18 & 21 \end{bmatrix}$

$A(B+C)=AB+AC$

$AB+AC=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$+\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

$AB+AC=\begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 5 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 9 & 16 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11& 13 \\ 18 & 21 \end{bmatrix}$

Matriz identidade como elemento neutro

Seja uma matriz A, com elementos a_ij, de ordem m x n, I_n a matriz identidade com mesmo número de colunas de A e I_m a matriz identidade com mesmo número de linhas de A, então:

A.I_n = A

I_m.A = A

Ou seja, se multiplicarmos uma matriz qualquer pela matriz identidade, o resultado dessa multiplicação será a própria matriz. Assim, dizemos que a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes.

Matriz transposta

A matriz transposta é representada pela letra t sobrescrita à letra que representa a matriz (A^t). Determinar a transposta de uma matriz é reescrevê-la de forma que suas linhas e colunas troquem de posições ordenadamente: a primeira linha é reescrita como a primeira coluna, a segunda linha é reescrita como a segunda coluna e assim por diante, até que se termine de reescrever todas as linhas na forma de coluna.

A ordem da matriz transposta é inversa à ordem da matriz original. Por exemplo, se a matriz A é de ordem 3 por 2, isto é, A_(3×2), então a matriz transposta de A será de ordem 2 por 3, isto é, A^t (2×3).

Exemplo:

$M_{(3\times 2)}=\begin{bmatrix} -1 & 8\\ 2 & 5\\ 4 & 7 \end{bmatrix}$

$M^{t}_{(2\times 3)}\begin{bmatrix} -1 & 2 & 4\\ 8 & 5& 7 \end{bmatrix}$

Propriedades da matriz transposta

P1) A transposta de uma matriz transposta é a matriz original, isto é, (A^t)^t = A;

P2) A transposta do produto de um escalar k por uma matriz é igual ao produto desse escalar pela transposta da matriz, isto é: (k.A)^t = k.A^t

P3) A transposta da soma de duas matrizes de mesma ordem é igual a soma das transpostas das matrizes originais, isto é, (A+B)^t = A^t +B^t

P4) A transposta da multiplicação de duas matrizes é igual a multiplicação das transpostas das matrizes originais mas trocando-se a ordem da multiplicação, isto é, (A.B)^t = B^t.A^t

Matriz simétrica

Define-se matriz simétrica como a matriz quadrada de ordem n que é igual à sua matriz trasposta, ou seja, A=A^t.

Exemplo:

$A_{(3\times 3)}\begin{bmatrix} 3 & 5& 6\\ 5& 2 &4 \\ 6& 4 & 8 \end{bmatrix}$

$A^{t}_{(3\times 3)}\begin{bmatrix} 3 & 5& 6\\ 5& 2 &4 \\ 6& 4 & 8 \end{bmatrix}$

Perceba que numa matriz simétrica, os elementos são simétricos com relação à diagonal principal, a₁₂ = a₂₁= 5; a₁₃ = a₃₁ = 6; a₂₃ = a₃₂ = 4, ou seja, temos sempre a_ij = a_ji:

Matriz antissimétrica

A matriz antissimétrica é a matriz quadrada de ordem n tal que sua transposta é igual à sua matriz oposta, ou seja, A^t = -A.

Exemplo:

$A=\begin{bmatrix} 0 & -5& 1\\ 5& 0 &0 \\ -1& 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A^{t}=\begin{bmatrix} 0 & 5& -1\\ -5& 0 &0 \\ 1& 0 & 0 \end{bmatrix}$

$-A=\begin{bmatrix} 0 & 5& -1\\ -5& 0 &0 \\ 1& 0 & 0 \end{bmatrix}$

Veja que A^t = -A.

Numa matriz antissimétrica, os elementos têm sinal oposto com relação à diagonal principal, a₁₂ = -a₂₁= -5; a₁₃ = -a₃₁ = 1; a₂₃ = -a₃₂ = 0, ou seja, temos sempre a_ij = -a_ji:

Os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica são necessariamente nulos.

Matriz inversa

A matriz inversa A^-1 da matriz quadrada A_(nxn) é também uma matriz quadrada tal que A. A^-1= A^-1.A=I_n, em que I_n é a matriz identidade.

Exemplo:

A matriz inversa de $A=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 5& 3 \\ \end{bmatrix}$ é $A^{t}=\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -5& 2 \\ \end{bmatrix}$ porque

$A.A^{-1}=\begin{bmatrix} 2& -1\\ 5& 3 \\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -5& 2 \\ \end{bmatrix}$

$A.A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}=I_{2}$

$A^{-1}.A=\begin{bmatrix} 3 & -1\\ -5& 2 \\ \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 2& -1\\ 5& 3 \\ \end{bmatrix}$

$A^{-1}.A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}=I_{2}$

É importante destacar que nem toda matriz é inversível. No wiki de determinantes mostraremos uma condição para a existência da matriz inversa.

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Definição de matriz

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Classificação das matrizes

Matriz linha

Matriz coluna

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Matriz identidade (ou matriz unidade)

Igualdade entre matrizes

Adição e subtração de matrizes

Adição

Subtração

Produto de número por matriz

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Matriz identidade como elemento neutro

Matriz transposta

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Matriz simétrica

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