Ciclo trigonométrico

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É corriqueiro que alunos de matemática básica, média ou superior tenham dificuldades e medos de determinados temas da matemática, como a trigonometria.

Quando perguntamos a um aluno o que é trigonometria criamos uma situação de incertezas e dúvidas; então para esclarecer este limbo vamos estudar e entender juntos suas definições e propriedades.

Trigonometria por si só já possui um nome autoexplicativo. Se derivarmos o seu nome, “tri” representa triângulo, “gono”, ângulo e “metria” vem de medida, logo trigonometria estuda a relação existente em um triângulo tomando como parâmetro essas três vertentes.

Arco

Se dois pontos distintos A e B pertencem a uma circunferência, eles dividem a mesma em duas partes. Chamamos estas divisões da circunferência de arco \widehat{AB}.

Arco de circunferência

Se o ponto A e B forem coincidentes, então dizemos que A e B representa um arco nulo ou arco de uma volta.

Arco nulo ou arco de uma volta

Unidades de medida de arco

Classificações necessárias para determinar o comprimento de um arco.

Graus

Representa uma divisão do comprimento total da circunferência dividida em 360 partições.

Unidade de arco - grau

Radiano

Representa a relação entre a medida do comprimento do arco de uma circunferência com seu raio. Como ilustrado abaixo, podemos notar que 1 rad equivale ao comprimento de 1 raio.

Unidade de arco - radiano

 

Podemos escrever a relação geral para encontrar a medida de um arco em radiano dividindo o comprimento do arco pelo comprimento do raio, de acordo com a fórmula abaixo.

med(\widehat{AB})=\frac{l (comprimento)}{R (raio)}

Pra o caso de um arco de tamanho R, podemos escrever:

med(\widehat{AB})=\frac{R}{R}=1rad

Relação entre graus e radianos

Dizemos que 360\degree corresponde a 2\pi rad. Para constatar esta relação vamos seguir a operação abaixo.

Seja \alpha o ângulo de uma volta e l a medida do arco \widehat{AB}, como mostra a figura.

Arco de uma volta

Da relação do cálculo do ângulo em radiano, \alpha =\frac{l}{R}, temos:

\alpha =\frac{2\pi R}{R}=2\pi rad

Ou seja, podemos estabelecer a seguinte identidade entre ângulos em graus e radianos:

360\degree\equiv 2\pi rad

Ciclo trigonométrico

Se colocarmos uma circunferência de raio 1 centralizada na origem do plano cartesiano teremos o chamado ciclo trigonométrico. De acordo com a figura abaixo vemos que o ciclo foi dividido em 4 regiões iguais, as quais chamamos de quadrantes (I, II, III e IV).

Ciclo trigonométrico e quadrantes

Podemos associar a cada arco marcado na circunferência um número real e um sentido, sendo 0 o arco nulo começando no ponto A. Aumentamos esse número no sentido anti-horário do ciclo, e diminuímos no sentido horário.

Arco trigonométrico e sentido de crescimento

Como o raio dessa circunferência é R=1, temos que o seu comprimento é de 2\pi, e então podemos associar alguns arcos importantes com suas imagens no ciclo, como mostrado abaixo.

Arcos no ciclo trigonométrico

Arcos côngruos

Existem infinitos ângulos possível em um intervalo de 0 a 2πrad, mas será que são os únicos ângulos que podem ser representados no ciclo trigonométrico?

Para responder esta questão podemos analisar o nome que damos para circunferência que delimita estes ângulos, o ciclo trigonométrico que por si só é explicativo, de modo que, é um ciclo, ou seja, sem fim, podendo dar infinitas voltas e repetições partindo de um mesmo ponto. Uma comparação lúdica que podemos utilizar seria uma criança bem animada que dá infinitas voltas em seu gira-gira, logo, mesmo que rode diversas vezes, sempre passará pelos mesmos pontos iniciais como na figura a baixo.

Representação das infinitas voltas que o ciclo trigonométrico pode dar

Estendendo a ideia para o ciclo trigonométrico, teremos arcos diferentes com a mesma imagem no ciclo. Esses arcos são chamados de arcos côngruos.

Arcos côngruos

Chamamos de primeira determinação positiva o menor arco positivo de uma família de arcos côngruos. Por exemplo, na imagem acima, o arco \frac{\pi }{4} é a primeira determinação positiva da sua família de arcos côngruos.

Generalizando, podemos concluir as seguintes propriedades para os arcos côngruos:

  1. Eles podem ser representados pelo conjunto \widehat{AB}=\left \{ \alpha \epsilon \mathbb{R}|\widehat{AB}=\alpha +2k\pi ;k\epsilon \mathbb{Z} \right \} , com k representando o número de voltas no ciclo;
  2. Se k>0, então o arco é tomado no sentido anti-horário;
  3. Se k<0, então o arco é tomado no sentido horário.
  4. A primeira determinação positiva é o arco de uma família de arcos côngruos que tem a menor medida positiva ou nula.
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