Funções trigonométricas – seno, cosseno e tangente

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No wiki de ciclo trigonométrico conhecemos as relações métricas e angulares na circunferência de raio igual a 1 e centro na origem do plano cartesiano.

Neste wiki iremos avançar com o conteúdo, estudando relações trigonométricas no ciclo e expandindo os conceitos de seno, cosseno e tangente, de modo que os torne uma função.

Relação trigonométrica no triângulo retângulo

As relações trigonométricas no triangulo retângulos possuem uma limitação, pois podemos encontrar o seno, cosseno e tangente somente para ângulos entre 0° e 90°, visto que o triângulo retângulo limita esses valores.

Triângulo retângulo
Triângulo retângulo

Ângulos do ciclo trigonométrico

Para superar esta limitação angular presente no triângulo retângulo utilizamos o ciclo trigonométrico, de modo que existem infinitas possibilidades de ângulos a serem relacionados com o triângulo e um ponto pertencente à circunferência, como mostra a figura abaixo.

Ângulos e triângulos no ciclo trigonométrico
Ângulos e triângulos no ciclo trigonométrico

Seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico

Para definirmos valores de seno, cosseno e tangente correspondentes aos ângulos do ciclo, utilizamos os eixos do plano cartesiano em que o ciclo está inscrito e uma reta tangente à circunferência, paralela ao eixo y.

O eixo x corresponde aos valores de cosseno, o y aos valores de seno e a reta paralela ao eixo y aos valores da tangente, como mostra a figura abaixo.

Eixos trigonométricos
Eixos trigonométricos

Observação: A partir deste wiki iremos chamá-los de eixo dos senos, eixo dos cossenos e eixo das tangentes.

Seno no ciclo trigonométrico

Os valores de seno correspondem à projeção de um ponto pertencente à circunferência levado até o eixo dos senos e, conforme mostrado abaixo.

Seno no ciclo trigonométrico
Seno no ciclo trigonométrico

Função seno

Podemos generalizar as relações existentes entre os ângulos e seus correspondentes no eixo dos senos de modo que tenhamos uma função do tipo y=sen(x). Sendo assim, y são os valores correspondentes ao eixo dos senos definidos pela abertura do ângulo escolhido que corresponde ao valor de x, como mostra a figura abaixo.

Representação da função seno no ciclo trigonométrico
Representação da função seno no ciclo trigonométrico

Propriedades da função seno

Imagem

Definimos como imagem os possíveis valores que uma função pode tomar no eixo y, então a função y=sen(x) será delimitada por valores entre -1 e 1. Generalizando, Im={y R / -1 y ≤ 1}.

Domínio

Definimos como domínio os possíveis valores que a função pode tomar em x, então a função y=sen(x), com x representando os possíveis ângulos do ciclo trigonométrico, terá todos os reais como pontos a serem determinados, tendo em vista que existem infinitos ângulos possíveis a serem estudados. Generalizando, D={x R}.

Quadrantes onde a função é positiva e negativa

A função y=sen(x) é definida pelos valores do eixo do seno no ciclo trigonométrico em função do ângulo x, então acima da origem temos valores positivos, que pertencem aos ângulos do primeiro e segundo quadrantes e, abaixo, valores negativos, que correspondem aos ângulos do terceiro e quarto quadrantes.

Análise de sinal da função seno
Análise de sinal da função seno pelos quadrantes do ciclo trigonométrico

Quadrantes onde a função é crescente e decrescente

Por convenção tomamos o sentido anti-horário para definir ângulos positivos. Desta maneira podemos observar que, ao avançar os ângulos no primeiro e quarto quadrantes, os valores correspondentes ao eixo do seno crescem, logo definimos estes quadrantes como quadrantes crescentes. De maneira oposta, o segundo e terceiro quadrantes são decrescentes.

Análise de crescimento da função seno
Análise de crescimento da função seno

Gráfico da função seno

Primeiro vamos analisar as propriedades do tópico anterior, que limita nossa imagem e garante que nosso domínio pertence a todos os reais, ou seja, a função y=sen(x) não pode estar abaixo de y=-1 e acima de y=1 no plano cartesiano. Logo temos a figura abaixo.

Delimitação gráfica da imagem da função seno

Sabemos que para o ângulo de 0° o seno vale 0, para o de 90° o seno vale 1, de 180° o seno vale 0, de 270° o seno vale -1 e o de 360° o seno vale, novamente, 0. Então podemos montar uma tabela para plotar seus valores no gráfico, conforme figura abaixo.

Plotando valores na função seno

Conectando os pontos no plano cartesiano, temos a figura abaixo.

Conectando os pontos do gráfico da função seno

A relação existente entre os ângulos e os seus correspondentes no eixo do seno no ciclo trigonométrico, podemos notar, não é diretamente proporcional, havendo sempre uma curvatura em relação aos pontos e seus correspondes. Deste modo, podemos aumentar a quantidade de pontos e observar que o gráfico toma um formato de onda senoidal como mostra a figura abaixo.

Gráfico da função seno

Observação: o período da função y=sen(x) é 360° ou, como visto no wiki de ciclo trigonométrico, 2π rad. Sendo assim, podemos reescrever qualquer valor da função como (x + 2πk) com k pertencente aos inteiros.

Cosseno no ciclo trigonométrico

Os valores de cosseno correspondem à projeção de um ponto pertencente à circunferência levado até o eixo dos cossenos, conforme mostrado abaixo.

Cosseno no ciclo trigonométrico
Cosseno no ciclo trigonométrico

Função cosseno

Podemos generalizar as relações existentes entre os ângulos e seus correspondentes no eixo dos cossenos de modo que tenhamos uma função do tipo y=cos(x). Sendo assim, y são os valores correspondentes ao eixo dos cossenos definidos pela abertura do ângulo escolhido que corresponde ao valor de x como mostra a figura abaixo.

Representação da função cosseno no ciclo trigonométrico
Representação da função cosseno no ciclo trigonométrico

Propriedades da função cosseno

Imagem

Definimos como imagem os possíveis valores que uma função pode tomar no eixo y, então a função y=cos(x) será delimitada por valores entre -1 e 1. Generalizando, Im={y R / -1 y ≤ 1}.

Domínio

Definimos como domínio os possíveis valores que a função pode tomar em x, então a função y=cos(x), com x representando os possíveis ângulos do ciclo trigonométrico, terá todos os reais como pontos a serem determinados, tendo em vista que existem infinitos ângulos possíveis a serem estudados. Generalizando, D={x R}.

Quadrantes onde a função é positiva e negativa

A função y=cos(x) é definida pelos valores do eixo do cosseno no ciclo trigonométrico em função do ângulo x, então à direita da origem temos valores positivos, que pertencem aos ângulos do primeiro e quarto quadrantes e, à esquerda, valores negativos, que correspondem aos ângulos do segundo e terceiro quadrantes.

Análise de sinal da função cosseno
Análise de sinal da função cosseno pelos quadrantes do ciclo trigonométrico

Quadrantes onde a função é crescente e decrescente

Por convenção tomamos o sentido anti-horário para definir ângulos positivos. Desta maneira podemos observar que, ao aumentar os ângulos no terceiro e quarto quadrantes nossos valores de cosseno crescem, logo definimos estes quadrantes como quadrantes crescentes. De maneira oposta, o primeiro e segundo quadrantes são decrescentes.

Análise de crescimento da função cosseno
Análise de crescimento da função cosseno

Gráfico da função cosseno

Primeiro vamos analisar as propriedades do tópico anterior, que limita nossa imagem e garante que nosso domínio pertence a todos os reais, ou seja, a função y=cos(x) não pode estar a baixo de y=-1 e acima de y=1 no plano cartesiano. Logo temos a figura abaixo.

Delimitação gráfica da imagem da função cosseno

Sabemos que para o ângulo de 0° o cosseno vale 1, para o de 90° o cosseno vale 0, de 180° o cosseno vale -1, o de 270° o cosseno vale 0 e o de 360° o cosseno vale, novamente, 1. Então podemos montar uma tabela para plotar seus valores no gráfico, conforme figura abaixo.

Plotando valores no gráfico da função cosseno

Conectando os pontos no plano cartesiano, temos a figura abaixo.

Conectando os pontos do gráfico da função cosseno

Se observamos a relação existente entre os ângulos e os seus correspondentes no eixo dos cossenos, notamos que não é diretamente proporcional, havendo sempre uma curvatura em relação aos pontos e seus correspondes. Deste modo, podemos aumentar a quantidade de pontos e observar que o gráfico é um formato de onda senoidal, como mostra a figura abaixo.

Gráfico da função cosseno

Observação: o período da função y=cos(x) é 360° ou, como visto no wiki de ciclo trigonométrico, 2π rad. Sendo assim, podemos reescrever qualquer valor da função como (x + 2πk) com k pertencente aos inteiros.

Tangente no ciclo trigonométrico

Os valores de tangente correspondem à projeção de um ponto pertencente à circunferência levado até o eixo das tangentes na direção radial do ciclo trigonométrico, conforme representado abaixo.

Tangente no ciclo trigonométrico
Tangente no ciclo trigonométrico

Relação entre tg(x), sen(x) e cos(x)

Há uma relação matemática entre a tangente, o seno e o cosseno de um arco, conforme mostrado abaixo.

tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}

Função tangente

Podemos generalizar as relações existentes entre os ângulos e seus correspondentes no eixo das tangentes de modo que o tenhamos uma função do tipo y=tg(x). Sendo assim, y são os valores correspondentes ao eixo das tangentes definidos pela abertura do ângulo escolhido que corresponde ao valor de x como mostra a figura abaixo.

Representação da função tangente no ciclo trigonométrico
Representação da função tangente no ciclo trigonométrico

Propriedades da função tangente

Imagem

Definimos como imagem os possíveis valores que uma função pode tomar no eixo y, então a função y=tg(x) será delimitada por todos os reais, pois a projeção dos ângulos no eixo das tangentes cobre os infinitos valores que ela possui. Generalizando, Im={y R}.

Domínio

Definimos como domínio os possíveis valores que a função pode toma no eixo x, então a função y=tg(x), com x representando os possíveis ângulos do ciclo trigonométrico, terá todos os reais, menos os pontos os quais o raio que define o ângulo no ciclo é paralelo ao eixo das tangentes, ou seja, os ângulos 90°, 270°, 450°, … Generalizando, D={x R / x ≠ π/2 + kπ, k Z}.

Quadrantes onde a função é positiva e negativa

A função y=tg(x) é definida pela extensão do raio da circunferência até interceptar o eixo das tangentes, então o primeiro e o terceiro quadrantes encontram o eixo das tangentes acima de zero, sendo assim positivo. De modo oposto, o segundo e o quarto encontram os valores negativos.

Análise de sinal da função tangente
Análise de sinal da função tangente

Quadrantes onde a função é crescente e decrescente

Por convenção tomamos o sentido anti-horário para definir ângulos positivos. Desta maneira podemos observar que, ao avançar os ângulos, seus valores correspondentes no eixo das tangentes sempre serão crescentes.

Análise de crescimento da função tangente
Análise de crescimento da função tangente

Gráfico da função tangente

Primeiro vamos analisar as propriedades do tópico anterior que limita nossa domínio, e mostra que nossa imagem pode ser qualquer real. Para o domínio, a função y=tg(x) não pode estar definida nos valores de -3π/2, -π/2, π/2 e 3π/2, respeitando  {x R / x ≠ π/2 + kπ, k Z} como mostra a figura abaixo.

Delimitação gráfica do domínio da função tangente

Sabemos que para o ângulo de 0° a tangente vale 0, para o de 45° a tangente vale 1, para de 90° a tangente não existe, para 135° a tangente é -1 e para 180° o valor é 0. Então podemos montar uma tabela para plotar seus valores no gráfico, conforme figura abaixo.

Plotando valores no gráfico da função tangente

Conectando os pontos no plano cartesiano temos a figura abaixo.

Conectando os pontos do gráfico da função tangente

Se observamos a relação existente entre os ângulos e os seus correspondentes no eixo das tangentes notamos que não é diretamente proporcional, havendo sempre uma curvatura em relação aos pontos e seus correspondes. Deste modo, podemos aumentar a quantidade de pontos e observar que o gráfico toma um formato de curva, como mostra a figura abaixo.

Gráfico da função tangente

Observação: o período da função y=tg(x) é 180° ou, como visto no wiki de ciclo trigonométrico, π rad.

Relação fundamental da trigonometria

Relembrando o início do wiki, que define as relações trigonométricas para o triangulo retângulo, temos uma relação de equilibro entre os ângulos α e β, pois sua soma sempre será 90°. De maneira análoga, podemos analisar que também existe uma relação métrica entre os lados, de modo que respeite o teorema de Pitágoras dizendo que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (a2+b2=c2).

Triângulo retângulo

Se observarmos o mesmo triangulo, mas no ciclo trigonométrico, sendo o ângulo α ≠ Kπ/2 (pois este ângulo não definiria um triangulo retângulo), temos que |a|2+ |b|2 = |c|2.

Triângulo retângulo no ciclo trigonométrico
Triângulo retângulo no ciclo trigonométrico

Deste modo temos a como cateto oposto, b cateto adjacente e c hipotenusa. Dado que as relações trigonométricas no triangulo retângulo são definidas por sen(α)=CO/H, cos(α)=CA/H e tg(α)=CO/CA, com CO=cateto oposto, CA=cateto adjacente e H=hipotenusa, podemos escrever:

 

(i) Por Pitágoras, temos …

a^{2}+b^{2}=c^{2}

 

(ii) Como a representa o valor de seno e b do cosseno, podemos dizer que…

sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=c^{2}

 

(iii) c representa o valor do raio da circunferência que é igual a 1, logo…

sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1

 

Uma segunda maneira para validar essa relação é partindo dela e substituindo as relações trigonométricas que aprendemos, de modo que…

sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1\Rightarrow

(\frac{CO}{H})^{2}+(\frac{CA}{H})^{2}=1\Rightarrow

(\frac{a}{c})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}=1\Rightarrow

\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1\Rightarrow

\frac{a^2+b^2}{c^2}=1

Como a2+b2=c2, então:

\frac{c^2}{c^2}=1\Rightarrow

1=1

Como 1=1 é uma verdade, então podemos concluir que a nossa relação sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1 está correta.

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