Funções trigonométricas secundárias – cossecante, secante e cotangente

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No wiki de funções trigonométricas, conhecemos as primeiras relações trigonométricas e como elas se tornam funções.

Neste wiki iremos avançar com o conteúdo, estudando as funções inversas a seno, cosseno e tangente e suas propriedades. Essas funções também são conhecidas como secundarias.

Secante, cossecante e cotangente no ciclo trigonométrico

Para definirmos valores de secante e cossecante utilizamos a interseção, com o eixo x ou o eixo y, da reta tangente ao ponto da circunfundia que define o arco. A interseção dessa reta com o eixo x define a secante, e a interseção dessa reta com o eixo y define a cossecante.

Já a cotangente é definida com auxílio de uma reta paralela ao eixo x do ciclo, como mostra a figura abaixo.

Cossecante, secante e cotangente no ciclo trigonométrico
Cossecante, secante e cotangente no ciclo trigonométrico

Observação: A partir de agora iremos chamá-los de eixo das cossecantes, eixo das secantes e eixo das cotangentes.

Cossecante no ciclo trigonométrico

Os valores de cossecante correspondem à interseção, com o eixo y, da reta que é tangente ao ponto da circunferência que define o arco, como mostra a figura abaixo.

Cossecante no ciclo trigonométrico
Cossecante no ciclo trigonométrico

Relação da cossecante com seno

As funções secundárias representam o inverso das funções primárias. Sendo assim, podemos escrever, para a cossecante, a seguinte relação:

cossec(x)=\frac{1}{sen(x)}

Função cossecante

Podemos generalizar as relações existentes entre os ângulos e seus correspondentes valores de cossecante, de modo que tenhamos uma função do tipo y=cossec(x). Sendo assim, y corresponde aos valores de cossecante e x é o ângulo definido pelo ciclo, como monstra a figura abaixo.

Representação da função cossecante no ciclo trigonométrico
Representação da função cossecante no ciclo trigonométrico

Propriedades da função cossecante

Imagem

Definimos como imagem os possíveis valores que uma função pode tomar no eixo y, então a função y=cossec(x) será delimitada por todos os reais, menos -1y≤1, pois nestes valores não temos encontro da reta tangente. Generalizando, Im= R – ]-1, 1[.

Análise da imagem da função cossecante
Análise da imagem da função cossecante

Domínio

Definimos como domínio os possíveis valores que a função pode tomar em x, então a função y=cossec(x), com x representando os possíveis ângulos do ciclo trigonométrico, pode tomar qualquer valor, menos os pontos onde a reta tangente se torna paralela ao eixo y, ou seja, os ângulos 180°, 360°, … Generalizando, D={x R / x  kπ}.

Análise do domínio da função cossecante
Análise do domínio da função cossecante

Quadrantes onde a função é positiva e negativa

A função y=cossec(x) é definida pelos valores do eixo y que não estão entre -1 e 1. Portanto acima da origem temos valores positivos, que pertencem aos ângulos do primeiro e segundo quadrantes, e abaixo valores negativos, que correspondem aos ângulos do terceiro e quarto quadrantes.

Análise de sinal da função cossecante
Análise de sinal da função cossecante

Quadrantes onde a função é crescente e decrescente

Por convenção tomamos o sentido anti-horário para definir ângulos positivos. Desta maneira podemos observar que, ao aumentar os ângulos no segundo ou terceiro quadrantes os valores de cossecante crescem, logo definimos estes quadrantes como quadrantes crescentes. De maneira oposta, o primeiro e quarto quadrantes são decrescentes.

Análise de crescimento da função cossecante
Análise de crescimento da função cossecante

Gráfico da função cossecante

Primeiro vamos analisar as propriedades do tópico anterior, que limita nossa imagem e domínio, ou seja, a função y=cossec(x) estará acima de y=1 e abaixo de y=-1 no plano cartesiano e não é definida em 0°, 180°, 360°, … Logo, temos a figura abaixo.

Delimitação gráfica do domínio e da imagem da função cossecante
Delimitação gráfica do domínio e da imagem da função cossecante

Sabemos que a função cossec(x) segue os valores da tabela abaixo.

Tabela de valores para a função cossecante
Tabela de valores para a função cossecante

Plotando no gráfico temos:

Plotando valores no gráfico da função cossecante
Plotando valores no gráfico da função cossecante

Conectando os pontos no plano cartesiano, podemos desenhar:

Conectando os pontos do gráfico da função cossecante
Conectando os pontos do gráfico da função cossecante

Ao observar a relação existente entre os ângulos e os seus correspondentes valores de cossecante, notamos que ela não é diretamente proporcional, havendo sempre uma curvatura em relação aos pontos e seus correspondes. Deste modo, podemos aumentar a quantidade de pontos e observar que o gráfico fica com o formato abaixo.

Gráfico da função cossecante
Gráfico da função cossecante

Observação: o período da função y=cossec(x) é 360° ou, como visto no wiki de ciclo trigonométrico, 2π rad.

Secante no ciclo trigonométrico

Os valores de secante correspondem à interseção, com o eixo x, da reta que é tangente ao ponto da circunferência que define o arco, como mostra a figura abaixo.

Secante no ciclo trigonométrico
Secante no ciclo trigonométrico

Relação de secante com cosseno

As funções secundárias representam o inverso das funções primárias. Sendo assim, podemos escrever, para a secante, a seguinte relação:

sec(x)=\frac{1}{cos(x)}

Função secante

Podemos generalizar as relações existentes entre os ângulos e seus correspondentes valores de secante, de modo que tenhamos uma função do tipo y=sec(x). Sendo assim, y corresponde aos valores de secante e x é o ângulo definido pelo ciclo, como monstra a figura abaixo.

Representação da função secante no ciclo trigonométrico
Representação da função secante no ciclo trigonométrico

Propriedades da função secante

Imagem

Definimos como imagem os possíveis valores que uma função pode tomar no eixo y, então a função y=sec(x) será delimitada por todos os reais, menos -1y≤1, pois nestes valores não temos encontro da reta tangente. Generalizando, Im= R – ]-1, 1[.

Análise da imagem da função secante
Análise da imagem da função secante

Domínio

Definimos como domínio os possíveis valores que a função pode tomar em x, então a função y=sec(x), com x representando os possíveis ângulos do ciclo trigonométrico, pode tomar qualquer valor, menos os pontos onde a reta tangente se torna paralela ao eixo x, ou seja, os ângulos 90°, 180°, … Generalizando, D={x R / x ≠ π/2 + kπ}.

Análise do domínio da função secante
Análise do domínio da função secante

Quadrantes onde a função é positiva e negativa

A função y=sec(x) é definida pelos valores do eixo x que não estão entre -1 e 1. Portanto à direita da origem temos valores positivos, que pertencem aos ângulos do primeiro e quarto quadrantes, e à esquerda valores negativos, que correspondem aos ângulos do segundo e terceiro quadrantes.

Análise de sinal da função secante
Análise de sinal da função secante

Quadrantes onde a função é crescente e decrescente

Por convenção tomamos o sentido anti-horário para definir ângulos positivos. Desta maneira podemos observar que, ao aumentar os ângulos no primeiro ou segundo quadrantes os valores de secante crescem, logo definimos estes quadrantes como quadrantes crescentes. De maneira oposta, o terceiro e quarto quadrantes são decrescentes.

Análise de crescimento da função secante
Análise de crescimento da função secante

Gráfico da função secante

Primeiro vamos analisar as propriedades do tópico anterior, que limita nossa imagem e domínio, ou seja, a função y=sec(x) estará acima de x=1 e abaixo de x=-1 no plano cartesiano e não é definida em 90°, 270°, … Logo, temos a figura abaixo.

 

Delimitação gráfica do domínio e da imagem da função secante
Delimitação gráfica do domínio e da imagem da função secante

Sabemos que a função sec(x) segue os valores da tabela abaixo.

Tabela de valores para a função secante
Tabela de valores para a função secante

Plotando no gráfico temos:

Plotando valores no gráfico da função secante
Plotando valores no gráfico da função secante

Conectando os pontos no plano cartesiano, podemos desenhar:

Conectando os pontos do gráfico da função secante
Conectando os pontos do gráfico da função secante

Ao observar a relação existente entre os ângulos e os seus correspondentes valores de secante, notamos que ela não é diretamente proporcional, havendo sempre uma curvatura em relação aos pontos e seus correspondes. Deste modo, podemos aumentar a quantidade de pontos e observar que o gráfico fica com o formato abaixo.

Gráfico da função secante
Gráfico da função secante

Observação: o período da função y=sec(x) é 360° ou, como visto no wiki de ciclo trigonométrico, 2π rad.

Cotangente no ciclo trigonométrico

Os valores de cotangente correspondem à projeção de um ponto pertencente à circunferência levado até o eixo das cotangentes na direção radial do ciclo trigonométrico, como representado abaixo.

Cotangente no ciclo trigonométrico
Cotangente no ciclo trigonométrico

Relação de cotangente com tangente

Como já foi dito anteriormente, as funções secundárias representam o inverso das funções primárias. Sendo assim, podemos escrever, para a cotangente, a seguinte relação:

cotg(x)=\frac{1}{tg(x)}

Podemos extrair uma outra relação para a cotangente levando em conta que tg(x)=sen(x)/cos(x). Podemos chegar na seguinte expressão:

cotg(x)=\frac{1}{tg(x)}=\frac{1}{\frac{sen(x)}{cos(x)}}=\frac{cos(x)}{sen(x)}

Função cotangente

Podemos generalizar as relações existentes entre os ângulos e seus correspondentes no eixo das cotangentes, de modo que tenhamos uma função do tipo y=tg(x). Sendo assim, y são os valores correspondentes ao eixo das cotangentes e x é o ângulo definido pelo ciclo, como monstra a figura abaixo.

Representação da função cotangente no ciclo trigonométrico
Representação da função cotangente no ciclo trigonométrico

Propriedades da função cotangente

Imagem

Definimos como imagem os possíveis valores que uma função pode tomar no eixo y, então a função y=cotg(x) será delimitada por todos os reais, pois a projeção dos ângulos no eixo das cotangentes cobre os infinitos valores que ela possui. Generalizando, Im={y  R}.

Domínio

Definimos como domínio os possíveis valores que a função pode toma no eixo x, então a função y=cotg(x) com x representando os possíveis ângulos do ciclo trigonométrico terá todos os reais, menos os pontos os quais o raio que define o ângulo no ciclo é paralelo ao eixo das cotangentes, ou seja, os ângulos 0°, 180°, 360°, … Generalizando, D={x  R / x ≠ kπ, k  Z}.

Quadrantes onde a função é positiva e negativa

A função y=cotg(x) é definida pela extensão do raio da circunferência até interceptar o eixo das cotangentes, então o primeiro e o terceiro quadrantes encontram o eixo das cotangentes acima de zero, sendo assim positivo. De modo oposto, o segundo e o quarto encontram os valores negativos.

Análise de sinal da função cotangente
Análise de sinal da função cotangente

Quadrantes onde a função é crescente e decrescente

Por convenção tomamos o sentido anti-horário para definir ângulos positivos. Desta maneira podemos observar que, ao avançar os ângulos, seus valores correspondentes no eixo das cotangentes sempre serão decrescentes.

Análise de crescimento da função cotangente
Análise de crescimento da função cotangente

Gráfico da função cotangente

Primeiro vamos analisar as propriedades dos tópicos anteriores que limitam nosso domínio e mostram que nossa imagem pode ser qualquer real. Para o domínio, a função y=cotg(x) não pode estar definida nos valores de -2π, -π, 0, π e 2π, respeitando {x  R / x ≠ kπ, k  Z} como mostra a figura abaixo.

Delimitação gráfica do domínio da função cotangente
Delimitação gráfica do domínio da função cotangente

Sabemos que a função cotg(x) segue os valores da tabela abaixo.

Tabela de valores para a função cotangente
Tabela de valores para a função cotangente

Plotando no gráfico temos:

Plotando valores no gráfico da função cotangente
Plotando valores no gráfico da função cotangente

Conectando os pontos no plano cartesiano, podemos desenhar:

Conectando os pontos do gráfico da função cotangente
Conectando os pontos do gráfico da função cotangente

Ao observar a relação existente entre os ângulos e os seus correspondentes valores de cotangente, notamos que ela não é diretamente proporcional, havendo sempre uma curvatura em relação aos pontos e seus correspondes. Deste modo, podemos aumentar a quantidade de pontos e observar que o gráfico fica com o formato abaixo.

Gráfico da função cotangente
Gráfico da função cotangente

Observação: o período da função y=cotg(x) é 180° ou, como visto no wiki de ciclo trigonométrico, π rad.

Consequências da relação fundamental da trigonometria

A partir da relação fundamental da trigonometria, podemos concluir mais duas fórmulas usando as funções secundárias estudadas acima.

1 – Para encontrar a primeira relação, dividimos a relação fundamental por sen²(x):

sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1\Rightarrow

\frac{sen^{2}(x)}{sen^{2}(x)}+\frac{cos^{2}(x)}{sen^{2}(x)}=\frac{1}{sen^{2}(x)}

Aplicando as relações apresentadas neste wiki vamos chegar em:

1+cotg^{2}(x)=cossec^{2}(x)

2 – Para encontrar a segunda relação temos que dividir a relação fundamental por cos²(x):

sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1\Rightarrow

\frac{sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}+\frac{cos^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=\frac{1}{cos^{2}(x)}

Aplicando as relações apresentadas neste wiki vamos chegar em:

tg^{2}(x)+1=sec^{2}(x)

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