Operações com arcos

Voltar
Você está aqui:

Neste wiki vamos enunciar as operações com arcos no ciclo trigonométrico. Um grande matemático que teve influência na construção deste conceito foi Ptolomeu, o autor de uma das maiores obras da trigonometria, a “Syntaxis Mathemética”. Essa obra é conhecida como Almagesto que tem significado, em árabe, de “a maior”, pois assim foi considerada na sua época.

Figura de uma tradução do Almagesto em latim
Figura de uma tradução do Almagesto em latim

Operação com arcos

Para compreendermos a soma de arcos, vamos relembrar que todo ângulo inscrito em uma circunferência tem um arco correspondente, como foi visto no wiki de ciclo trigonométrico. Desta forma, se existe a possibilidade de operarmos seus ângulos, então podemos operar seus arcos correspondentes, como mostra a figura abaixo.

Representação de operação de arcos no ciclo trigonométrico
Representação de operação de arcos no ciclo trigonométrico

Seno e cosseno da soma

Para encontrarmos a relação algébrica presente na soma de arcos, vamos utilizar a demonstração abaixo.

Primeiro vamos construir um triangulo \mathbf{AEF} de hipotenusa 1 inscrito no retângulo \mathbf{ABCD}, e os ângulos \mathbf{E\widehat{A}F} de medida a e \mathbf{B\widehat{A}F} de medida b, conforme figura abaixo.

 

Operações com arcos - construção 1

Pelas relações trigonométricas, podemos escrever:

cos(a)=\frac{AE}{1}\Rightarrow AE=cos(a)

sen(a)=\frac{EF}{1}\Rightarrow EF=sen(a)

Operações com arcos - construção 2

Pelas mesmas relações trigonométricas no triangulo \mathbf{ABE} e considerando os resultados anteriores, temos:

    \begin{flalign*} &cos(b)=\frac{AB}{AE}\Rightarrow cos(b)=\frac{AB}{cos(a)}\Rightarrow AB=cos(a)cos(b)&\\ &sen(b)=\frac{BE}{AE}\Rightarrow sen(b)=\frac{BE}{cos(a)}\Rightarrow BE=sen(b)cos(a)&\\ \end{flalign*}

Operações com arcos - construção 3

Se analisarmos os ângulos, podemos concluir que \mathbf{m(C\widehat{E}F)=b}  e o ângulo \mathbf{m(A\widehat{F}D)=a+b}.

Operações com arcos - construção 4

Pelas relações trigonométricas, temos que:

Triângulo CEF:

    \begin{flalign*} &cos(b)=\frac{CE}{EF}\Rightarrow cos(b)=\frac{CE}{sen(a)}\Rightarrow CE=sen(a)cos(b)&\\ &sen(b)=\frac{CF}{EF}\Rightarrow sen(b)=\frac{CF}{sen(a)}\Rightarrow CF=sen(a)sen(b)&\\ \end{flalign*}

Triângulo ADF:

    \begin{flalign*} &cos(a+b)=\frac{FD}{AF}\Rightarrow cos(a+b)=\frac{FD}{1}\Rightarrow FD=cos(a+b)&\\ &sen(a+b)=\frac{DA}{AF}\Rightarrow sen(a+b)=\frac{AD}{1}\Rightarrow AD=sen(a+b)&\\ \end{flalign*}

Operações com arcos - construção 5

Como \mathbf{ABCD} é um retângulo, as medidas dos lados opostos são iguais. Então, se igualarmos \mathbf{AD} e \mathbf{BC}, temos:

sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)

que define o seno da soma de arcos.

E agora, igualando \mathbf{CD} e \mathbf{AB}, temos:

cos(a+b)+sen(a)sen(b)=cos(a)cos(b)\Rightarrow

cos(a+b)=sen(a)sen(b)-cos(a)cos(b)

que define cosseno da soma de dois arcos.

Seno e cosseno da diferença

Para encontrar o seno e cosseno da diferença de dois arcos, podemos fazer a-b=a+(-b) e aplicar as fórmulas da soma de arcos.

Para o seno da diferença, temos:

sen(a-b)=sen[a+(-b)]\Rightarrow

sen(a-b)=sen(a)cos(-b)+sen(-b)cos(a)\Rightarrow

sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)

Para o cosseno da diferença, temos:

cos(a-b)=cos[a+(-b)]\Rightarrow

cos(a-b)=cos(a)cos(-b)-sen(a)sen(-b)\Rightarrow

cos(a-b)=cos(a)cos(b)-sen(a)[-sen(b)]\Rightarrow

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)

Tangente da soma

A tangente da soma é muito simples, pois utilizamos da substituição de tan(x) pela divisão de sen(x) por cos(x) como visto no wiki de funções trigonométricas. Então, se tg(x)=sen(x)/cos(x), temos que:

tg(a+b)=\frac{sen(a+b)}{cos(a+b)}

Então podemos substituir seno da soma e cosseno da soma na fórmula mostrada acima:

tg(a+b)=\frac{sen(a+b)}{cos(a+b)}=\frac{sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)}

A sacada agora é dividir as duas partes da fração por cos(a).cos(b) e, deste modo, conseguimos cortar alguns termos e ficar com apenas valores em função de tangente:

tg(a+b)=\frac{\frac{sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)}}{\frac{cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)}{cos(a)cos(b)}}\Rightarrow

tg(a+b)=\frac{\frac{sen(a)cos(b)}{cos(a)cos(b)}+\frac{sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)}}{\frac{cos(a)cos(b)}{cos(a)cos(b)}+\frac{sen(a)sen(b)}{cos(a)cos(b)}}\Rightarrow

tg(a+b)=\frac{\frac{sen(a)}{cos(a)}+\frac{sen(b)}{cos(b)}}{1-\frac{sen(a)sen(b)}{cos(a)cos(b)}}\Rightarrow

tg(a+b)=\frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a)tg(b)}

Tangente da diferença

Para encontrar a tangente da diferença de dois arcos, podemos fazer a-b=a+(-b) e aplicar a fórmula da tangente da soma de arcos.

tg(a-b)=tg[a+(-b)]\Rightarrow

tg(a-b)=\frac{tg(a)+tg(-b)}{1-tg(a)tg(-b)}\Rightarrow

tg(a-b)=\frac{tg(a)-tg(b)}{1-tg(a)[-tg(b)]}\Rightarrow

tg(a-b)=\frac{tg(a)-tg(b)}{1+tg(a)tg(b)}

Arco duplo

Na álgebra básica dizemos que qualquer multiplicação pode ser reescrita em somas. Desta maneira, as relações que envolvem multiplicação por constante serão da seguinte forma:

2a=a+a

Seguindo este pensamento, podemos aplicar as relações trigonométricas e utilizar a fórmula da soma para concluir o resultado do arco duplo 2a.

Seno de arco duplo

Fazendo sen(2a)=sen(a+a) e usando a fórmula do seno da soma de dois arcos, temos que:

sen(2a)=sen(a+a)\Rightarrow

sen(2a)=sen(a)cos(a)+sen(a)cos(a)\Rightarrow

sen(2a)=2sen(a)cos(a)

Cosseno de arco duplo

Fazendo cos(2a)=cos(a+a) e usando a fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos que:

cos(2a)=cos(a+a)\Rightarrow

cos(2a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)\Rightarrow

cos(2a)=cos^2(a)-sen^2(a)

Usando a relação fundamental da trigonometria, podemos reescrever a fórmula acima de duas outras maneiras, fazendo a substituição do cos^2(a) ou do sen^2(a). Se sen^2(a)+cos^2(a)=1, então podemos escrever cos^2(a)=1-sen^2(a) ou sen^2(a)=1-cos^2(a).

Substituindo \mathbf{cos^2(a)}

cos(2a)=cos^2(a)-sen^2(a)\Rightarrow

cos(2a)=1-sen^2(a)-sen^2(a)\Rightarrow

cos(2a)=1-2sen^2(a)

Substituindo \mathbf{sen^2(a)}

cos(2a)=cos^2(a)-sen^2(a)\Rightarrow

cos(2a)=cos^2(a)-[1-cos^2(a)]\Rightarrow

cos(2a)=cos^2(a)-1+cos^2(a)\Rightarrow

cos(2a)=2cos^2(a)-1

Tangente de arco duplo

Fazendo tg(2a)=tg(a+a) e usando a fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos que:

tg(2a)=tg(a+a)\Rightarrow

tg(2a)=\frac{tg(a)+tg(a)}{1-tg(a)tg(a)}\Rightarrow

tg(2a)=\frac{2tg(a)}{1-tg^2(a)}

Transformação de soma e subtração em produto

Para deduzir as fórmulas de transformação em produto devemos primeiro relembrar as relações já vistas de soma e subtração de arcos:

(1) \hspace{2}cos(a+b)=sen(a)sen(b)-cos(a)cos(b)

(2) \hspace{2}cos(a-b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

(3) \hspace{2}sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)

(4) \hspace{2}sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)

Efetuando somas e subtrações entre essas equações, obtemos:

    \begin{flalign*} &(1)+(2): \hspace{2}cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)&\\ &(1)-(2): \hspace{2}cos(a+b)-cos(a-b)=-2sen(a)sen(b)&\\ &(3)+(4): \hspace{2}sen(a+b)+sen(a-b)=2sen(a)cos(b)&\\ &(3)-(4): \hspace{2}sen(a+b)-sen(a-b)=2sen(b)cos(a)&\\ \end{flalign*}

Essas relações são chamadas de fórmulas de Werner. Nessas fórmulas, vamos operar com a e b da seguinte maneira:

\left\{\begin{matrix} a+b=p\\ a-b=q \end{matrix}\right.

Isolando a na primeira equação e b na segunda, temos:

a=\frac{p+q}{2}

b=\frac{p-q}{2}

Substituindo nas fórmulas de Werner, temos as fórmulas de transformação em produto:

cos(p)+cos(q)=2cos(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})

cos(p)-cos(q)=-2sen(\frac{p+q}{2})sen(\frac{p-q}{2})

sen(p)+sen(q)=2sen(\frac{p+q}{2})cos(\frac{p-q}{2})

sen(p)-sen(q)=2sen(\frac{p-q}{2})cos(\frac{p+q}{2})

Para encontrar as fórmulas de transformação em produto para as tangentes, utilizaremos a relação vista no wiki de trigonometria tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}. Então:

tg(p)+tg(q)=\frac{sen(p)}{cos(p)}+\frac{sen(q)}{cos(q)}\Rightarrow

tg(p)+tg(q)=\frac{sen(p)cos(q)+sen(q)cos(p)}{cos(p)cos(q)}\Rightarrow

tg(p)+tg(q)=\frac{sen(p+q)}{cos(p)cos(q)}

De modo análogo, podemos encontrar a seguinte fórmula da transformação em produto da diferença de tangentes:

tg(p)-tg(q)=\frac{sen(p-q)}{cos(p)cos(q)}

Anterior Funções trigonométricas secundárias – cossecante, secante e cotangente

Deixe um comentário