Probabilidade

porEquipe Realize Educação

Probabilidade é o estudo das possibilidades de um determinado resultado ocorrer na realização de um experimento. Em outras palavras, a probabilidade pode representar numericamente a chance da ocorrência de um evento. Esta chance é obtida pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

Experimento aleatório e experimento determinístico

Na probabilidade, o experimento aleatório pode ser destacado como um experimento que não se pode prever com exatidão.

Exemplos:

Lançar um dado de 6 faces não viciado e observar a face que cairá voltada para cima;

Sortear 6 números de 0 a 80 em um sorteio de loteria;

Lançar uma moeda e observar a face que cairá voltada para cima.

Contrapondo o experimento aleatório, o experimento determinístico é o experimento no qual os eventos podem ser previstos totalmente.

Exemplo:

Esquentar a água à temperatura de 100°C no nível do mar. Sabemos, com certeza, que a água irá ferver.

Espaço amostral

O espaço amostral é um conjunto que contém todos os elementos possíveis de um experimento aleatório. Geralmente é indicado pela letra grega Ω (Ohm).

Um exemplo é o conjunto Ω={Cara, Coroa} que é espaço amostral do experimento “Lançar uma moeda e observar a face que cai voltada para cima”.

Conjunto Ω do experimento “lançar um dado”

Evento

O evento probabilístico é um subconjunto qualquer do espaço amostral.

Exemplos:

Lançar uma moeda e a face voltada para cima ser cara. O espaço amostral é Ω={Cara, Coroa}, o evento é A={Cara} e A⊂ Ω;

Lançar uma moeda e um dado ao mesmo tempo e as faces do dado e da moeda voltadas para cima serem 6 e coroa.

Evento Complementar

O evento complementar é aquele que, unidos seus elementos com os elementos do evento complementado, irá conter todos os elementos possíveis do experimento, ou seja, será igual ao espaço amostral.

Em outras palavras, o evento complementar de um evento A é um evento A_C, tal que A_C é o evento oposto a A, ou ainda, A_C é o evento “não A”.

Um exemplo é o evento “Cair ímpar” do experimento “Lançar um dado de seis faces não viciado e observar a face voltada para cima”, que irá possuir um evento complementar “Não cair ímpar”, equivalente ao evento “Cair par”, pois sabemos que para o lançamento do dado em questão, a face voltada para cima será par ou ímpar, fazendo com que a soma do evento com o evento complementar seja o evento “Cair par ou ímpar”, ou seja, o conjunto união do evento com o seu evento complementar será igual ao conjunto do espaço amostral.

União de eventos

Para que dois ou mais eventos se unam, todos necessariamente precisam possuir o mesmo espaço amostral.

Para a união de eventos, pode-se observar dois casos em geral:

Caso 1: Os eventos não possuem elementos em comum;

Caso 2: Os eventos possuem pelo menos um elemento em comum.

Com isso, para o caso da união entre dois eventos A e B, a união de ambos é notada por AUB.

Caso a união entre e seja de maneira que os eventos não possuam elementos em comum, então:

$A\cup B=A+B$

Caso a união entre A e B seja de modo que os eventos possuam elemento(s) em comum, então:

$A\cup B=A+B-A\cap B$

de modo que A⋂B represente o conjunto dos elementos em comum entre os dois eventos.

Exemplo:

No Experimento “Lançar um dado de seis lados, não viciado”, temos o evento A “a face virada para cima ser par” e o evento B “a face virada para cima ser maior que três.”

Assim, AUB é a soma dos elementos de A mais os elementos de B, subtraindo a intersecção dos eventos:

AUB = A + B – A⋂B se, e somente se, AUB={2,4,6}+{4,5,6} – A⋂B.

Eventos dependentes e independentes

Dado dois eventos A e B de mesmo espaço amostral, eles são ditos eventos dependentes se, e somente se, a ocorrência de um deles influenciar na probabilidade do outro acontecer.

Exemplo:

O evento “Sair Dama na primeira retirada e 4 na segunda retirada” ao se retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, não repor a carta e retirar uma carta novamente.

Porém, se a ocorrência de um deles não afetar a probabilidade do outro, os eventos serão independentes.

Exemplo:

O evento “Sair Dama na primeira retirada e 4 na segunda retirada” ao se retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, repor a carta e retirar uma carta novamente.

Intersecção entre eventos

A intersecção entre eventos é o conjunto que contém todos os elementos em comum entre os eventos. Representa-se tal conjunto pela forma A⋂B, de maneira que:

$A\cap B=A\cup B-(A+B)$

Exemplo:

No Experimento “Lançar um dado de seis lados, não viciado”, temos o evento A “a face virada para cima ser par” e o evento B “a face virada para cima ser maior que três.”

Com isso, a intersecção entre os eventos será o conjunto de todos os elementos em comum entre os eventos:

A⋂B = {4,6}

Espaço amostral laplaciano

O espaço amostral laplaciano, também conhecido como espaço amostral equiprovável é o conjunto Ω que possui elementos com a mesma probabilidade de ocorrer.

Exemplos:

Sorteio da loteria;

Escolher peças esféricas de um jogo de bingo com tamanhos e pesos idênticos;

Lançamento de moedas ou dados não viciados.

Probabilidade de um evento

A probabilidade de um evento de um experimento aleatório P(E) é dada pela razão entre o número de elementos favoráveis do evento pelo número de elementos do espaço amostral.

$P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}$

de maneira que para o experimento aleatório, o resultado desta razão será P(E)≤1.

Exemplos:

A probabilidade de sair Cara ao lançar uma moeda e observar a face que cairá voltada para cima pode ser dada pela razão $\frac{n(C)}{n(\Omega )}=\frac{1}{2}=0,5$

Probabilidade da união de dois eventos

Este caso de probabilidade P(AUB) é dado quando calculamos a razão da soma da quantidade de elementos de cada um dos eventos de mesmo espaço amostral, pelo espaço amostral. Contudo, para que esta soma seja sempre verdadeira, deve-se atentar ao fato de que a união de dois eventos, como já visto anteriormente, pode conter elementos pertencentes aos dois eventos, simultaneamente e, com isso, para realizar este cálculo probabilístico, chega-se em

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

com a observação de que quando os dois eventos não se intersectarem, P(A⋂B) será zero e, assim, a probabilidade da união será dada pela soma simples entre a probabilidade de cada evento.

Probabilidade do evento complementar

Sendo o evento complementar de E, E_C, o evento que possui os elementos que, ao ser somado com E irá gerar o espaço amostral do experimento, e a probabilidade do espaço amostral ser a razão P(Ω)=n(Ω)/n(Ω)=1, pode-se calcular a probabilidade de E_C pela diferença entre P(Ω) e P(E), de modo que

$P(E_{C})=P(\Omega )-P(E)$

Exemplo:

A probabilidade do evento complementar de T “Cair um número primo” em um experimento “Lançar um dado de seis faces não viciado e observar a face voltada para cima” pode ser calculada pela forma

P(T_C)=1-P(T),de modo que P(T) seja a razão entre o número de números primos entre 1 e 6 (2, 3, 5) e o número de faces de um dado comum. Assim, P(T)=0,5 e P(T_C)=1-0,5=0,5.

Probabilidade condicional

A probabilidade condicional é um caso especial de probabilidade na qual é analisada a probabilidade de um evento qualquer, condicionado a outro evento. Ou seja, é estudada a probabilidade de ocorrência de um evento de um experimento, dependendo de um evento que precede a este.

Pode-se calcular a probabilidade condicional de dois eventos pela fórmula

$P\left ( \frac{A}{B} \right )=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$

interpretada como probabilidade do evento A, tendo ocorrido o evento B.

Exemplo:

O cálculo da probabilidade de sair um número ímpar no lançamento de um dado de seis faces, não viciado, sabendo que no lançamento saiu um número maior do que 4.

Probabilidade da intersecção de eventos independentes ou dependentes

Se dois eventos A e B são eventos independentes, a probabilidade da ocorrência de A e B é dada pela multiplicação das probabilidades que irá resultar na probabilidade da intersecção entre os dois eventos.

$P(A).P(B)=P(A\cap B)$

Já o caso em que dois eventos são dependentes, a ocorrência de um sempre afetará na ocorrência do segundo, o condicionando. Assim, a probabilidade da intersecção dos eventos será dada pela multiplicação da probabilidade de ocorrência do primeiro evento pela probabilidade condicional de ocorrência dos eventos.

$P(A).P\left ( \frac{A}{B} \right )=P(A\cap B)$

Probabilidade binomial

Considere X o número de casos positivos nas realizações sucessivas de um experimento (n experimentos). Pode-se afirmar que X irá sempre possuir dois resultados possíveis, caso positivo e caso negativo. Assim, X possuirá uma distribuição binomial de parâmetros p e q, com p sendo a probabilidade de casos positivos em cada realização do experimento e q a probabilidade de casos negativos, de modo que

$P(X=k)=\binom{n}{k}.p.q^{n-k}$ ,

para se calcular a probabilidade de k casos positivos sobre n tentativas.

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