Ciclo trigonométrico

porEquipe Realize Educação

É corriqueiro que alunos de matemática básica, média ou superior tenham dificuldades e medos de determinados temas da matemática, como a trigonometria.

Quando perguntamos a um aluno o que é trigonometria criamos uma situação de incertezas e dúvidas; então para esclarecer este limbo vamos estudar e entender juntos suas definições e propriedades.

Trigonometria por si só já possui um nome autoexplicativo. Se derivarmos o seu nome, “tri” representa triângulo, “gono”, ângulo e “metria” vem de medida, logo trigonometria estuda a relação existente em um triângulo tomando como parâmetro essas três vertentes.

Arco

Se dois pontos distintos A e B pertencem a uma circunferência, eles dividem a mesma em duas partes. Chamamos estas divisões da circunferência de arco $\widehat{AB}$ .

Se o ponto A e B forem coincidentes, então dizemos que A e B representa um arco nulo ou arco de uma volta.

Unidades de medida de arco

Classificações necessárias para determinar o comprimento de um arco.

Graus

Representa uma divisão do comprimento total da circunferência dividida em 360 partições.

Radiano

Representa a relação entre a medida do comprimento do arco de uma circunferência com seu raio. Como ilustrado abaixo, podemos notar que 1 rad equivale ao comprimento de 1 raio.

Podemos escrever a relação geral para encontrar a medida de um arco em radiano dividindo o comprimento do arco pelo comprimento do raio, de acordo com a fórmula abaixo.

$med(\widehat{AB})=\frac{l (comprimento)}{R (raio)}$

Pra o caso de um arco de tamanho R, podemos escrever:

$med(\widehat{AB})=\frac{R}{R}=1rad$

Relação entre graus e radianos

Dizemos que $360\degree$ corresponde a $2\pi rad$ . Para constatar esta relação vamos seguir a operação abaixo.

Seja $\alpha$ o ângulo de uma volta e $l$ a medida do arco $\widehat{AB}$ , como mostra a figura.

Da relação do cálculo do ângulo em radiano, $\alpha =\frac{l}{R}$ , temos:

$\alpha =\frac{2\pi R}{R}=2\pi rad$

Ou seja, podemos estabelecer a seguinte identidade entre ângulos em graus e radianos:

$360\degree\equiv 2\pi rad$

Se colocarmos uma circunferência de raio 1 centralizada na origem do plano cartesiano teremos o chamado ciclo trigonométrico. De acordo com a figura abaixo vemos que o ciclo foi dividido em 4 regiões iguais, as quais chamamos de quadrantes (I, II, III e IV).

Podemos associar a cada arco marcado na circunferência um número real e um sentido, sendo 0 o arco nulo começando no ponto A. Aumentamos esse número no sentido anti-horário do ciclo, e diminuímos no sentido horário.

Como o raio dessa circunferência é $R=1$ , temos que o seu comprimento é de $2\pi$ , e então podemos associar alguns arcos importantes com suas imagens no ciclo, como mostrado abaixo.

Arcos côngruos

Existem infinitos ângulos possível em um intervalo de 0 a 2πrad, mas será que são os únicos ângulos que podem ser representados no ciclo trigonométrico?

Para responder esta questão podemos analisar o nome que damos para circunferência que delimita estes ângulos, o ciclo trigonométrico que por si só é explicativo, de modo que, é um ciclo, ou seja, sem fim, podendo dar infinitas voltas e repetições partindo de um mesmo ponto. Uma comparação lúdica que podemos utilizar seria uma criança bem animada que dá infinitas voltas em seu gira-gira, logo, mesmo que rode diversas vezes, sempre passará pelos mesmos pontos iniciais como na figura a baixo.

Estendendo a ideia para o ciclo trigonométrico, teremos arcos diferentes com a mesma imagem no ciclo. Esses arcos são chamados de arcos côngruos.

Chamamos de primeira determinação positiva o menor arco positivo de uma família de arcos côngruos. Por exemplo, na imagem acima, o arco $\frac{\pi }{4}$ é a primeira determinação positiva da sua família de arcos côngruos.

Generalizando, podemos concluir as seguintes propriedades para os arcos côngruos:

Eles podem ser representados pelo conjunto $\widehat{AB}=\left \{ \alpha \epsilon \mathbb{R}|\widehat{AB}=\alpha +2k\pi ;k\epsilon \mathbb{Z} \right \}$ , com k representando o número de voltas no ciclo;
Se $k>0$ , então o arco é tomado no sentido anti-horário;
Se $k<0$ , então o arco é tomado no sentido horário.
A primeira determinação positiva é o arco de uma família de arcos côngruos que tem a menor medida positiva ou nula.

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