Conjuntos

Na matemática, conjunto é uma coleção de objetos quantificáveis, os quais chamamos elementos.

Representação de um conjunto

Para representar conjuntos, utiliza-se letras maiúsculas do alfabeto (letras de A a Z).

Diagrama de Venn-Euler

Visualmente, podemos representar conjuntos como circunferências que contêm elementos.

O modelo pode, também, representar dois ou mais conjuntos que possuem elementos em comum (chamamos de interseção).

Representação por enumeração ou listagem

Pode-se representar um conjunto através da enumeração, ou seja, uma listagem de elementos contidos por chaves.

Exemplo:

A={1, 2, 3, 4}

Lê-se “O conjunto A contém os elementos ”.

Representação por meio de uma propriedade

Também é aceitável representar um conjunto através de uma propriedade, uma característica particular, que classifique os elementos de tal conjunto.

Exemplo:

B={n I n é vogal} = {a, e, i, o, u}

Lê-se “B contém n, tal que (|) n é vogal”. Logo, B contém os elementos “a”, “e”, “i”, “o” e “u”.

Conjunto, elemento e pertinência

De início, destacamos que essas três noções matemáticas são isentas de definição matemática.
O conjunto, como dito antes, é um agrupamento ou coleção de um grupo de elementos. Os elementos são objetos que compartilham uma característica (como pertencerem a um determinado conjunto).

A relação de pertinência, por sua vez, implica se determinado elemento pertence ou não a um conjunto. Usa-se o símbolo “” (pertence) para um elemento que pertence a algum conjunto e “” (não pertence) para um elemento que não pertence a um conjunto.

Exemplos:

1) Dado o Conjunto A={p,q,r}, diz-se que p A, q A e r A.

2) Dado o Conjunto B={s,t,u}, sabe-se que p B, q B e r B.

Conjunto unitário

Chama-se unitário o conjunto que contém apenas um elemento, ou seja, apenas um elemento satisfaz a característica do conjunto.

Exemplo:

A={n vogais | n ≠ a, i, o, u}

Lê-se “A contém n que pertence às vogais, tal que ( | ) n é diferente (≠) de a, i, o, u.”

Ou seja, seria o mesmo que A={e}.

Conjunto vazio

Chama-se vazio o conjunto sem elementos, ou seja, nenhum elemento satisfaz a propriedade característica.

Exemplo:

B={x ∈ vogais I x ≠ a, e, i, o, u}, logo A é conjunto vazio.

Representa-se A={ } ou A=Ø.

Conjunto universo (U)

Chama-se universo o conjunto que contém todos os elementos. Representa-se o conjunto universo, usualmente, pela letra U, tal que  (Lê-se “x pertence a U para todo x.”).

Perceba, no exemplo da imagem, que U contém além dos elementos de A e B, também os elementos que não pertencem a nenhum dos outros conjuntos.

Conjuntos iguais

Dados os conjuntos A e B, diz-se A = B se, e somente se, os elementos de A e B forem os mesmos.

Exemplos:

1) A={3,4,9} e B={9,4,3}, então A=B;

Perceba que a ordem dos elementos não importa, apenas que eles são os mesmos: “3”, “4” e “9”.

2) C={1,1,1,1,2,3} e D={1,2,3}.

Agora, perceba que C possui elementos repetidos (“1”), mas ainda assim C=D, pois pode-se notar que os elementos de ambos conjuntos são os mesmos: “1”, “2” e “3”, apesar da repetição.

Subconjunto

Diz-se que B é subconjunto de A se, e somente se, todos os elementos de B também forem elementos de A.

Representa-se essa noção por:

Lê-se “B está contido em A se, e somente se, para todo n pertencente a B implica que n pertence a A”.

Por exemplo, seja B o conjunto das vogais e A do alfabeto, podemos dizer que B é um subconjunto de A, porque toda vogal também faz parte do alfabeto.

Propriedades da inclusão

Algumas propriedades são fundamentais para a teoria de conjuntos, são elas:

a) significa que A está contido em B e, por isso, todo os elementos de A pertencem a B;

b) Usa-se para B contém A que equivale a , A está contido em B;

c) Usa-se para representar que A não está contido em B;

d) Propriedade transitiva: Se e então (se A está contido em B e B está contido em D, então A está contido em D);

e) Igualdade de conjuntos: e (se A está contido em B e B está contido em A, então A é igual a B);

f) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: Ø para todo A;

g) O número de subconjuntos possíveis em A é  para n elementos de A.

Conjunto das partes

Se A é um conjunto qualquer, chama-se conjunto das partes de A todos os subconjuntos de A. Denota-se o conjunto das partes de A por P(A).

Exemplos:

Dado A={a,b,c},

1) Sabe-se que Ø é subconjunto de A;

2) Para A, tem-se também os subconjuntos unitários {a}, {b} e {c};

3) Também os subconjuntos {a,b}, {a,c} e {b,c};

4) Nota-se pela definição de conjuntos que todo conjunto é subconjunto dele mesmo e por isso temos também o subconjunto {a,b,c}.

Por isso P(A)={Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.

Vale notar que se fez válida a propriedade de inclusão “g”, uma vez que o número de subconjuntos pôde ser dado por .

União de conjuntos

Dados os conjuntos A e B, o conjunto união de A e B (A ∪ B) é composto por todos os elementos do conjunto A e do conjunto B.

Dessa maneira tem-se que A ∪ B = {x I x ∈ A e/ou x ∈ B} (Lê-se “A união contém x, tal que x pertence a A e/ou x pertence a B”}.

Exemplos:

A={x I x vogais}, B={y I y consoantes}, portanto A   B={Alfabeto}.

Propriedades da união

Sobre a união de conjuntos, algumas propriedades são notáveis:

a)  Ø = , a união de um conjunto com o conjunto vazio é o próprio conjunto;

b) , pois o conjunto universo contém todos os elementos;

c) , propriedade idempotente;

d) , propriedade comutativa;

e) , propriedade associativa.

Interseção de conjuntos

Dados os conjuntos A e B, o conjunto interseção de A com B é o conjunto formado pelos elementos em comum entre A e B.

Exemplo:

A={a,b,c}, B={c,d,e}, portanto A B={c}.

Propriedades da interseção

Sobre a interseção de conjuntos, algumas propriedades são notáveis:

a)  Ø = Ø, a interseção de um conjunto com o conjunto vazio é o próprio conjunto vazio;

b), a interseção de um conjunto com o conjunto universo é o próprio conjunto;

c) , propriedade idempotente;

d) , propriedade comutativa;

e) , propriedade associativa.

Propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos

Existem também propriedades notáveis que relacionam a interseção e união de conjuntos.

Propriedade distributiva

Algumas propriedades de caráter distributivos são notáveis para a teoria de conjuntos:

a) ;

b) .

Quando A está contido em B

Existem características notáveis para os casos em que um conjunto está contido em outro:

a) ;

b) , sendo D um terceiro conjunto;

c) , sendo D um terceiro conjunto.

Diferença de conjuntos

A diferença de conjuntos é dada pelos elementos de um conjunto que estão ausentes no outro.

Assim sendo, tem-se que A – B = {n I n ∈ A e n ∉ B}.

Vale ressaltar também que para o caso a propriedade comutativa torna-se inválida e A – B ≠ B – A.

Conjunto complementar

Dados dois conjuntos A e B, tal que B é subconjunto de A (B ⊂ A), diz-se que o conjunto complementar de B em relação a A () é dado pelo conjunto que contém os elementos faltantes para que B se torne A. Denota-se, também, o complementar do conjunto A por .

Tem-se então que  para B ⊂ A.

Propriedades do conjunto complementar

Existem algumas propriedades notáveis para conjuntos complementares:

a) , o complementar do conjunto universo é o conjunto vazio e vice-versa;

b) , o conjunto complementar do conjunto complementar de A é A;

c) Se ;

d) Se ;

e) , Teorema 1 de De Morgan;

f) , Teorema 2 de De Morgan;

g)

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é um conjunto denotado , tal que este conjunto seja dado por .

Número de elementos de uma união de conjunto

Dado um conjunto  de forma que não seja um conjunto vazio, calcula-se o número de elementos pertencentes a por , uma vez que a intersecção contém elementos presentes em ambos conjuntos (A e B).

Exemplo:

O conjunto A possui 10 elementos e o conjunto B possui 13 elementos; possui 6 elementos, então quanto vale n()?

Pela notação, temos que n()=n(A)+n(B)- n();

Assim, .