MHS

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porEquipe Realize Educação

Movimento periódico

No nosso planeta convivemos com diversos fenômenos repetitivos como, por exemplo, o batimento cardíaco, a translação da Terra em torno do Sol e a vibração das placas tectônicas. Neste cenário, os fenômenos repetitivos cujos movimentos acontecem num mesmo intervalo de tempo de forma sucessiva são chamados de movimentos periódicos.

Nos movimentos periódicos, o período (T) consiste no tempo necessário para um fenômeno periódico voltar a se repetir e a frequência (f) é o número de movimentos repetitivos realizados na unidade de tempo considerada. Segue abaixo a equação que relaciona o período e a frequência dos movimentos periódicos.

T=\frac{1}{f}

– T: período (s/min/h);

– f: frequência (Hz/rpm/rph).

Movimento oscilatório

Dentre os movimentos periódicos, existe um tipo de movimento conhecido como movimento oscilatório, no qual o sentido do movimento é invertido de forma regular.

O pêndulo é um bom exemplo para o movimento oscilatório. Os pêndulos se deslocam de uma posição até a mesma posição inversa passando pelo ponto de origem, conforme apresentado na figura abaixo.

Movimento oscilatório
Movimento oscilatório

Chamamos de amplitude (A) de uma oscilação o espaço percorrido pelo corpo da posição média da oscilação até a extremidade do movimento periódico.

Devemos, aqui, ressaltar dois pontos importantes. O primeiro é que a massa do pêndulo não influencia o seu período. O segundo ponto é que no movimento do pêndulo existe uma força que tende a deslocá-lo para a posição de origem, essa força chamada de força restauradora, que discutiremos mais adiante.

Movimento harmônico simples (MHS)

Uma oscilação harmônica é uma oscilação que varia com o tempo de acordo com uma função harmônica (função trigonométrica do tipo seno ou cosseno). Se o período de uma oscilação harmônica permanece constante e se não há dissipação de energia pelo atrito, chamamos essa oscilação de movimento harmônico simples (MHS).

O movimento de um corpo no MHS se dá pela função trigonométrica de deslocamento pelo tempo; as equações abaixo são chamadas de funções horárias de elongação do MHS.

x(t)=A.cos(\omega t+\varphi _0)

y(t)=A.sen(\omega t+\varphi _0)

– x: deslocamento do corpo na projeção horizontal ou elongação (m);

– y: deslocamento do corpo na projeção vertical (m);

– A: amplitude (m);

– ω: velocidade angular (rad/s);

– t: tempo (s);

– φ0: fase inicial (rad).

Analisando as equações acima, a fase inicial consiste na posição inicial do corpo no movimento harmônico simples sendo sua unidade representada em radianos. Vamos entender melhor sobre a fase inicial um pouco mais adiante, na relação do MHS com o movimento circular uniforme (MCU).

MHS e MCU (movimento circular uniforme)

Podemos relacionar o MCU e o MHS para compreendermos melhor o movimento harmônico simples. Considere uma partícula descrevendo um movimento circular uniforme ao longo de um círculo de raio R. Vamos agora fazer incidir um feixe de luz com raios paralelos (luz colimada) horizontalmente da esquerda para a direita sobre o nosso dispositivo, projetando o movimento circular num eixo x, que está à direita, conforme figura abaixo.

Relacionando o MHS com o MCU
Relacionando o MHS com o MCU

O movimento da sombra da partícula sobre o eixo Ox é um MHS. Ou seja, acabamos de relacionar um MCU a um MHS e, a partir disso, podemos entender melhor o significado de algumas equações apresentadas anteriormente:

x(t)=A.cos(\omega t+\varphi _0)

y(t)=A.sen(\omega t+\varphi _0)

A fase inicial φ0 do MHS nada mais é do que o ângulo de início do movimento do MCU. E a velocidade angular ω do MHS nada mais é do que a velocidade angular do MCU.

Outras equações amplamente utilizadas no MHS são a equação de velocidade em função do tempo, na projeção horizontal, e a equação de velocidade em função do deslocamento. A primeira delas, em função do tempo, está representada a seguir.

v(t)=-\omega.A.sen(\omega t+\varphi _0)

– v: velocidade do corpo na projeção horizontal (m/s);

– A: amplitude (m);

– ω: velocidade angular (rad/s);

– t: tempo (s);

– φ0: fase inicial (rad).

Já a equação da velocidade em função do deslocamento é representada conforme abaixo.

v=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2}

– v: velocidade do corpo na projeção horizontal (m/s);

– A: amplitude (m);

– ω: velocidade angular (rad/s);

– x: deslocamento do corpo na projeção horizontal ou elongação (m).

Por fim, temos a equação de aceleração dos corpos no MHS, que basicamente consiste no inverso do produto da velocidade angular pelo deslocamento na projeção horizontal.

a=-\omega^2.x

– a: aceleração do corpo na projeção horizontal (m/s2).

– ω: velocidade angular (rad/s);

– x: deslocamento do corpo na projeção horizontal ou elongação (m).

Estudo dinâmico do MHS no sistema massa-mola

Podemos analisar o MHS também sob a ótica do movimento de um sistema massa-mola. Se, mais uma vez, fazermos incidir um feixe de luz com raios paralelos horizontalmente da esquerda para a direita sobre o nosso dispositivo, projetando o movimento da mola num eixo x, que está à direita, teremos a seguinte situação.

Relacionando o MHS com o sistema massa-mola
Relacionando o MHS com o sistema massa-mola

Ou seja, podemos representar o MHS como um movimento de um sistema massa-mola. Como o sistema massa-mola tem ajuda da força elástica para buscar a posição de equilíbrio, podemos dizer que qualquer MHS pode ter uma força associada que ajuda o sistema a buscar a posição de equilíbrio. Chamamos essa força de força restauradora. Da lei de Hooke, podemos escrever:

F=-k.x

– F: força de restauração (N);

– k: constante elástica da mola ou constante de força do MHS;

– x: deslocamento do corpo na projeção horizontal ou elongação (m).

Note que a constante elástica da mola k é chamada de constante de força no MHS.

Analisando o mesmo exemplo, podemos definir a velocidade angular e o período do sistema massa-mola conforme apresentado abaixo.

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}

T=2.\pi.\sqrt{\frac{m}{k}}

– ω: velocidade angular (rad/s);

– T: período (s);

– m: massa do bloco (kg);

– k: constante elástica (N/m).

Período do pêndulo simples

O pêndulo simples é outro exemplo de sistema que gera movimento harmônico simples. E como todo MHS, tem um período característico.

Pêndulo simples
Pêndulo simples

Podemos encontrar esse período através da seguinte relação:

T=2.\pi.\sqrt{\frac{l}{g}}

Observe que o período de oscilação não depende da massa do pêndulo, como falamos no início desse wiki.

Associação de molas

Podemos associar duas ou mais molas de diferentes formas. As mais comuns são em série e em paralelo. Na associação em série, as molas são interligadas sucessivamente uma na outra e sua constante elástica equivalente pode ser calculada da seguinte forma:

associação de molas em série
associação de molas em série

\frac{1}{K_{eq}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{k_i}

– k: constante elástica (N/m).

Já na associação em paralelo, as molas elásticas são conectadas diretamente no bloco e a equação que representa a constante elástica equivalente é representada abaixo.

Associação de molas em paralelo
Associação de molas em paralelo

K_{eq}=\sum_{i=1}^{n}{k_i}

– k: constante elástica (N/m).

MHS e energia

Para finalizar, pode-se realizar uma análise das energias envolvidas no MHS com a ajuda da representação no sistema massa-mola.

Para a energia potencial máxima, vamos partir do cálculo da energia potencial do sistema massa-mola fazendo a elongação x ser máxima, ou seja, do tamanho da amplitude A.

Energia potencial elástica
Energia potencial elástica

Sendo E_{ep}=\frac{k.x^2}{2}  o cálculo da energia potencial elástica, fazendo x=A, temos, para o cálculo da energia potencial máxima no MHS a seguinte relação:

E_{ep.MÁX}=\frac{k.A^2}{2}

Perceba que, quando a mola passa pelo ponto de equilíbrio, como x=0, a energia potencial é nula.

Agora, para o cálculo da energia cinética máxima no MHS, vamos partir da energia cinética do sistema massa-mola.

Energia cinética
Energia cinética

Como E_c=\frac{m.v^2}{2} é a fórmula para o cálculo da energia cinética do sistema massa-mola, fazendo a velocidade ser máxima, ou seja, quando a mola passa pelo ponto de equilíbrio, podemos chegar na fórmula da energia cinética máxima do MHS. Como a velocidade máxima no MHS é dada por , substituindo na relação anterior, temos:

E_{c.MÁX}=\frac{m.v_{máx}^2}{2}=\frac{m.{\omega.A}^2}{2}

Como \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} , substituindo, chegamos em:

E_{c.MÁX}=\frac{k.A^2}{2}

Perceba que, quando a mola está nos pontos extremos, sua velocidade é zero e, consequentemente, a energia cinética também é zero.

Podemos juntar as duas energias do MHS, potencial e cinética, num único gráfico representativo, para que possamos fixar esse conceito.

Energia em um sistema massa-mola
Energia em um sistema massa-mola

Observe que a soma dos gráficos resulta sempre num mesmo valor de energia mecânica, respeitando a lei da conservação da energia.

E_{mec}=\frac{k.A^2}{2}

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