Diedros e triedros

Diedros e triedros são entes matemáticos muito importantes para a compreensão da geometria espacial, introduzindo o conceito da utilização de planos, e não somente pontos e retas, para a formação de estruturas geométricas.

Para entendermos melhor os conceitos em questão, as noções primitivas de retas e planos devem estar bem fixadas.

Reta e plano

Na geometria euclidiana plana, temos somente uma posição relativa entre a reta e o plano: a reta estará contida no plano, ressaltando o fato de que retas e planos são conceitos ilimitados, ou seja, não apresentam extremos (origem e destino). Ainda sobre a geometria euclidiana, na questão espacial, temos que dois planos podem ser coincidentes, paralelos ou concorrentes, sendo este último caso o foco do nosso estudo, pois, como veremos mais a frente, a intersecção entre dois planos concorrentes é dada por uma reta, gerando um diedro, e a intersecção entre três planos concorrentes é dada por um ponto, gerando um triedro.

Diedros

Diedro é um ente matemático formato por dois semiplanos, ou seja, duas secções de planos tendo uma reta como origem e se estendendo ilimitadamente a partir desta, de forma que os planos que contenham estes semiplanos sejam concorrentes nesta reta de origem.

Elementos do diedro

O diedro, assim como cada elemento da geometria euclidiana, possui suas características próprias que o definem.

Para definir um diedro precisamos de uma reta r e dois semiplanos α e β, de modo que formem entre si uma angulação com origem em r, .

Também podemos notar que, assim como em ângulos no plano, dois semiplanos de mesma reta de origem podem indicar dois diedros, um de ângulo de abertura superior ou igual a 180° e outro inferior ou igual a 180°, de forma que , por definição, o diedro escolhido será sempre o de ângulo de abertura menor.

Diedro nulo e diedro raso

Chamamos de diedro nulo o diedro cujas faces são coincidentes e diedro raso o diedro cujas faces são semiplanos opostos.

Seções de um diedro

A secção de um diedro é dada pela intersecção deste diedro com um plano secante à aresta, de modo que a seção de um diedro é um ângulo plano.

Seção reta

A seção reta ou seção normal de um diedro é uma seção cujo plano é perpendicular à aresta do diedro. A medida de um diedro é dada pela medida da angulação da seção reta do diedro.

Diedros opostos pela aresta

Dois diedros são OPA (opostos pela arestas), quando compartilham uma reta de origem e cada semiplano que compõe um diedro é oposto a cada semiplano que compõe o diedro OPA a este primeiro, ou seja, dois diedros OPA podem ser definidos por dois planos concorrentes em uma reta, gerando aberturas angulares entre diedros opostos com a origem em comum.

Bissetor de um diedro

Designa-se plano bissetor o plano que divide um diedro em outros dois diedros iguais, ou seja, com angulações iguais dividindo a angulação do diedro de origem pela metade. Podemos relacionar o bissetor de um diedro com a bissetriz de um ângulo quando se trata de geometria euclidiana plana.

Diedro agudo

Chamamos de diedro agudo o diedro cuja seção normal é um ângulo agudo, ou seja, de valor menor que 90°.

Diedro reto

Chamamos de diedro reto o diedro cuja seção normal é um ângulo reto, ou seja, de valor igual a 90°.

Diedro obtuso

Chamamos de diedro obtuso o diedro cuja seção normal é um ângulo obtuso, ou seja, de valor maior do que 90°.

Triedros

Na matemática, triedros são dados por três semirretas de mesma origem, não coplanares, que geram planos duas a duas, que se encontram neste ponto de origem.

Elementos de um triedro

O triedro, assim como cada elemento da geometria euclidiana, possui suas características próprias que o definem.

Para definir um triedro precisamos de três semirretas não coplanares partindo de um mesmo ponto. A esse ponto chamamos de vértice V. Se cada semirreta tem nome a, b e c, respectivamente, então V_a, V_b e V_c são as arestas e , e são as faces.

Teoremas do triedro

Teorema da relação das faces

Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas.

Para um triedro, qualquer face será sempre menor que a soma das outras duas, de modo que  < + , uma vez que uma seção desse triedro irá gerar um triângulo que por sua vez garante a afirmação de que um dos lados nunca será maior que a soma dos outros dois.

Teorema do módulo das faces

Em todo triedro, qualquer face é maior que o módulo da diferença das outras duas.

Temos também que, em todo triedro, qualquer face é maior que o módulo da diferença das outras duas, de modo que II. A justificativa pode vir do mesmo triângulo citado anteriormente, formado pelas faces do triedro.

Teorema da soma das medidas das faces

A soma das medidas em graus das faces de um triedro qualquer é menor que 360°.

Para um triedro, a soma das medidas em graus das faces será, necessariamente, menor que 360°, de modo que .