Pirâmides

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Um grande filosofo e geômetra que amava e estudava os tetraedros e octaedros foi Platão, que ao longo da sua vida deu grande significância científica e mística a eles, de maneira que o tetraedro foi denominado como fogo pela sua natureza penetrante e o octaedro como ar que representava a perfeição estática da matéria.

Pirâmide

Para definir uma pirâmide é necessário um polígono convexo qualquer contido em um plano α e um ponto V fora dele. Ligando os vértices do polígono ao ponto V temos uma pirâmide, de modo que a menor distância entre o plano α e o vértice V será a altura h da pirâmide.

Definindo uma pirâmide
Definindo uma pirâmide

Pirâmide Regular

Para definir uma pirâmide regular é necessário que o polígono que define a base da pirâmide seja regular, de modo que a altura da pirâmide seja o segmento de reta que une o vértice V a sua projeção ortogonal na base.

Definindo uma pirâmide regular
Definindo uma pirâmide regular

Apótema da pirâmide regular

Em uma pirâmide regular definimos como apótema a altura dos triângulos das faces laterais.

Apótema da pirâmide regular
Apótema da pirâmide regular

Pirâmides semelhantes

Para encontrar as semelhanças entre pirâmides utilizamos de uma secção reta da pirâmide paralela à base, de modo que criamos uma nova pirâmide menor a partir da pirâmide geratriz.

Pirâmides semelhantes
Pirâmides semelhantes

De modo análogo à semelhança entre triângulos da geometria plana, podemos dizer que o coeficiente de proporção q pode ser dado pela razão dos segmentos das pirâmides, como mostrado abaixo.

\frac{H}{h}=\frac{VA}{VA'}=\frac{VB}{VB'}=\frac{VC}{VC'}=\frac{VD}{VD'}=q

Podemos dizer também que o coeficiente ao quadrado é proporcional à razão entre as áreas das bases.

\frac{A_{b}}{a_{b}}=q^{2}

De modo análogo, a razão dos volumes é igual o coeficiente ao cubo.

\frac{V}{v}=q^{3}

Volume de uma pirâmide

Para calcular o volume de uma pirâmide multiplicamos a área da base pela altura dividindo por três.

V=\frac{A_{b}.h}{3}

Tetraedro regular

Temos o tetraedro regular como um dos sólidos de Platão, sendo definido por uma pirâmide regular de base triangular, se somente se, suas faces e arestas são todas iguais.

Tetraedro regular
Tetraedro regular

Área total de um tetraedro regular

Para calcular a área total de um tetraedro multiplicamos aresta ao quadrado pela raiz quadrada de três.

A_{t}=a^{2}\sqrt{3}

Altura de um tetraedro regular

Para calcular a altura de um tetraedro regular, multiplicamos a aresta por raiz de seis e dividimos por três.

h=\frac{a\sqrt{6}}{3}

Volume de um tetraedro regular

Para calcular o volume de um tetraedro regular multiplicamos a aresta ao cubo por raiz de dois e dividimos por doze.

V=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}

Octaedro regular

Temos que o octaedro regular é um dos sólidos de Platão, sendo definido por oito triângulos equiláteros que, juntos, formam duas pirâmides de base quadradas acopladas.

Octaedro regular
Octaedro regular

Área total de um octaedro regular

A área de uma face do octaedro regular é dada pela área de um triângulo equilátero, \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}. Portanto basta multiplicar esse valor por oito, chegando na seguinte expressão depois de simplificada:

A_t=2a^2\sqrt{3}

Volume de um octaedro regular

Para calcular o volume de um octaedro regular vamos o inscrever em um cubo e observar sua projeção.

Esquema para o cálculo do volume de um octaedro regular
Esquema para o cálculo do volume de um octaedro regular

Como é composto por duas pirâmides de base quadrada, podemos dizer que o volume é igual a:

V_{Octaedro}=2V_{Pir\^amide}\Rightarrow

V_{Octaedro}=2\frac{A_{b}.h}{3}\Rightarrow

V_{Octaedro}=2(\frac{1}{3}A_{b}.h)\Rightarrow

V_{Octaedro}=2\left[\frac{1}{3}\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2.\frac{a}{2}\right]\Rightarrow

V_{Octaedro}=\frac{a^3}{6}

Observação: A área do octaedro regular é 1/6 da área do cubo.

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