Diedros e triedros

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Diedros e triedros são entes matemáticos muito importantes para a compreensão da geometria espacial, introduzindo o conceito da utilização de planos, e não somente pontos e retas, para a formação de estruturas geométricas.

Para entendermos melhor os conceitos em questão, as noções primitivas de retas e planos devem estar bem fixadas.

Reta e plano

Na geometria euclidiana plana, temos somente uma posição relativa entre a reta e o plano: a reta estará contida no plano, ressaltando o fato de que retas e planos são conceitos ilimitados, ou seja, não apresentam extremos (origem e destino). Ainda sobre a geometria euclidiana, na questão espacial, temos que dois planos podem ser coincidentes, paralelos ou concorrentes, sendo este último caso o foco do nosso estudo, pois, como veremos mais a frente, a intersecção entre dois planos concorrentes é dada por uma reta, gerando um diedro, e a intersecção entre três planos concorrentes é dada por um ponto, gerando um triedro.

Livro representando um feixe de planos concorrentes
Livro representando um feixe de planos concorrentes
Três planos ligados por um ponto de intersecção
Três planos ligados por um ponto de intersecção

Diedros

Diedro é um ente matemático formato por dois semiplanos, ou seja, duas secções de planos tendo uma reta como origem e se estendendo ilimitadamente a partir desta, de forma que os planos que contenham estes semiplanos sejam concorrentes nesta reta de origem.

Elementos do diedro

O diedro, assim como cada elemento da geometria euclidiana, possui suas características próprias que o definem.

Para definir um diedro precisamos de uma reta r e dois semiplanos α e β, de modo que formem entre si uma angulação com origem em r, \widehat{\alpha r\beta}.

Também podemos notar que, assim como em ângulos no plano, dois semiplanos de mesma reta de origem podem indicar dois diedros, um de ângulo de abertura superior ou igual a 180° e outro inferior ou igual a 180°, de forma que , por definição, o diedro escolhido será sempre o de ângulo de abertura menor.

Elementos do diedro
Elementos do diedro

Diedro nulo e diedro raso

Chamamos de diedro nulo o diedro cujas faces são coincidentes e diedro raso o diedro cujas faces são semiplanos opostos.

Diedro nulo e diedro raso
Diedro nulo e diedro raso

Seções de um diedro

A secção de um diedro é dada pela intersecção deste diedro com um plano secante à aresta, de modo que a seção de um diedro é um ângulo plano.

Ângulo plano
Ângulo plano
Seção reta

A seção reta ou seção normal de um diedro é uma seção cujo plano é perpendicular à aresta do diedro. A medida de um diedro é dada pela medida da angulação da seção reta do diedro.

Seção reta de um diedro
Seção reta de um diedro
Diedros opostos pela aresta

Dois diedros são OPA (opostos pela arestas), quando compartilham uma reta de origem e cada semiplano que compõe um diedro é oposto a cada semiplano que compõe o diedro OPA a este primeiro, ou seja, dois diedros OPA podem ser definidos por dois planos concorrentes em uma reta, gerando aberturas angulares entre diedros opostos com a origem em comum.

Diedros OPA
Diedros OPA

Bissetor de um diedro

Designa-se plano bissetor o plano que divide um diedro em outros dois diedros iguais, ou seja, com angulações iguais dividindo a angulação do diedro de origem pela metade. Podemos relacionar o bissetor de um diedro com a bissetriz de um ângulo quando se trata de geometria euclidiana plana.

Diedro dividido por um plano bissetor
Diedro dividido por um plano bissetor
Diedro agudo

Chamamos de diedro agudo o diedro cuja seção normal é um ângulo agudo, ou seja, de valor menor que 90°.

Diedro agudo
Diedro agudo
Diedro reto

Chamamos de diedro reto o diedro cuja seção normal é um ângulo reto, ou seja, de valor igual a 90°.

Diedro reto
Diedro reto
Diedro obtuso

Chamamos de diedro obtuso o diedro cuja seção normal é um ângulo obtuso, ou seja, de valor maior do que 90°.

Diedro obtuso
Diedro obtuso

Triedros

Na matemática, triedros são dados por três semirretas de mesma origem, não coplanares, que geram planos duas a duas, que se encontram neste ponto de origem.

Elementos de um triedro

O triedro, assim como cada elemento da geometria euclidiana, possui suas características próprias que o definem.

Para definir um triedro precisamos de três semirretas não coplanares partindo de um mesmo ponto. A esse ponto chamamos de vértice V. Se cada semirreta tem nome a, b e c, respectivamente, então Va, Vb e Vc são as arestas e \widehat{ab}, \widehat{ac} e \widehat{bc} são as faces.

Elementos do triedro

Teoremas do triedro

Teorema da relação das faces

Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas.

Para um triedro, qualquer face será sempre menor que a soma das outras duas, de modo que  \widehat{ac} < \widehat{ab} + \widehat{bc}, uma vez que uma seção desse triedro irá gerar um triângulo que por sua vez garante a afirmação de que um dos lados nunca será maior que a soma dos outros dois.

Triângulo formado pelas faces de um triedro
Triângulo formado pelas faces de um triedro
Teorema do módulo das faces

Em todo triedro, qualquer face é maior que o módulo da diferença das outras duas.

Temos também que, em todo triedro, qualquer face é maior que o módulo da diferença das outras duas, de modo que II. A justificativa pode vir do mesmo triângulo citado anteriormente, formado pelas faces do triedro.

Teorema da soma das medidas das faces

A soma das medidas em graus das faces de um triedro qualquer é menor que 360°.

Para um triedro, a soma das medidas em graus das faces será, necessariamente, menor que 360°, de modo que .

Visualizando o teorema da soma das medidas das faces de um triedro
Visualizando o teorema da soma das medidas das faces de um triedro
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