Conceitos primitivos e postulados da geometria espacial

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A palavra geometria tem origem grega e significa “medir a terra”. O surgimento da geometria se deu pela necessidade direta do homem de medir e compreender características dimensionais em seu cotidiano e até mesmo em seu pensamento abstrato.

Conceitos primitivas

Os conceitos ou entes primitivos da Geometria são estabelecidos sem definição. Apenas adotamos como verdade a partir do conhecimento intuitivo decorrente da experiência e observação.

Adotamos como verdade as noções de ponto, reta e plano.

Representação do ponto, da reta e do plano
Representação do ponto, da reta e do plano

Notações:

  1. Ponto: Letras maiúsculas (A, B, C, …).
  2. Reta: Letras minúsculas (r, s, t, …).
  3. Plano: Letras gregas (α, β, γ, δ, …).

A Geometria Espacial é desenvolvida sobre o conjunto de todos os pontos, que definem o espaço, em 3 dimensões.

Postulados

Representam convenções necessárias para construir ou demonstrar lógicas matemáticas, não havendo a necessidade de serem provados ou demonstrados.

Postulado da existência

Dentro e fora de uma reta existe infinitos pontos.

Postulado da existência - reta

Dentro e fora de um plano existe infinitos pontos.

Postulado da existência - plano

Observação: Estes postulados permitem tomar quaisquer pontos no espaço como ferramentas para construir pontos, retas e planos.

Postulado da determinação

Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

Postulado da determinação da reta

Três pontos distintos e não colineares determinam um único plano que passa por eles.

Postulado da determinação do plano

Postulado da inclusão

Uma reta está contida em um plano quando possui dois pontos distintos pertencentes ao plano.

Postulado da inclusão

Postulado da interseção

Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então existe pelo menos um outro ponto, distinto daquele, que pertence aos dois planos.

Postulado da interseção

Consequências dos postulados

Por um ponto passam infinitas retas.

Por um ponto passam infinitas retas

Por dois pontos distintos passam infinitos planos.

Por dois pontos distintos passam infinitos planos

Se dois planos distintos têm um ponto comum, então a interseção desses dois planos é uma única reta que passa por aquele ponto.

Interseção de dois planos distintos

Posições relativas entre duas retas

Possíveis posições e relações de duas ou mais retas no espaço.

Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se, e somente se, possuem um único ponto comum.

Retas concorrentes

Retas paralelas

Duas retas são paralelas se, e somente se, ou são coplanares e não têm ponto comum ou são coincidentes.

Retas paralelas

Retas reversas

Duas retas são reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha.

Retas reversas

Determinação de um plano

Sabemos, a partir do postulado da determinação, que três pontos distintos não colineares determinam um único plano. Além desta forma podemos determinar um plano com mais três maneira que estão enunciadas a baixo como teoremas.

Por uma reta e um ponto fora dela

Se existe uma reta e um ponto de modo que o ponto não pertence à reta, então eles definem um único plano que as contém.

Determinação do plano por uma reta e um ponto

Por duas retas paralelas distintas

Duas retas paralelas e distintas definem um único plano que as contém.

Determinação do plano por duas retas paralelas distintas

Por duas retas concorrentes

Duas retas concorrentes definem um único plano que as contém.

Determinação do plano por duas retas concorrentes

Paralelismo

Entre reta e plano

Uma reta e um plano são paralelos se, e somente se, não possuem um ponto comum.

Paralelismo entre reta e plano

Entre planos

Dois planos são paralelos se, e somente se, não possuem pontos em comum ou são coincidentes.

Paralelismo entre planos

Perpendicularidade

Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, possuem um ponto comum e a reta é perpendicular a qualquer reta do plano que passa por esse ponto comum.

Perpendicularidade entre reta e plano

Teorema das três perpendiculares

Construção passo a passo:

1. Construir uma reta r perpendicular ao plano α;

Teorema das três perpendiculares - parte 1

2. Construir uma reta s contida em α passando por A;

Teorema das três perpendiculares - parte 2

3. Construir uma reta t perpendicular a s, contida em α;

Teorema das três perpendiculares - parte 3

4. Por último, tome um ponto B em r diferente de A e o ligue no encontro de s e t. Por consequência, a reta BC será perpendicular à reta t.

Teorema das três perpendiculares - parte 4

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