Estudo do ponto

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Na geometria analítica, podemos estudar algebricamente o comportamento de entes geométricos através de suas posições em relação a um referencial. Ou seja, basicamente analisamos figuras geométricas através de um referencial de forma a fazer surgir equações que nos auxiliem na análise e provas de teoremas da geometria.

Coordenadas na reta

Como dito acima, podemos analisar as posições de um ponto em relação a um referencial e, se for considerada a reta este referencial, teremos o número de coordenada para orientação desse ponto igual ao número de dimensões do nosso referencial, ou seja, para a reta, uma dimensão e uma coordenada.

Para representar pontos numa reta, primeiro devemos definir um eixo, depois uma orientação e um ponto O de origem.

A reta como referencial
A reta como referencial

Exemplo:

Pontos A(-2), O(0) e B(3) na reta orientada
Pontos A(-2), O(0) e B(3) na reta orientada

Coordenadas no plano

Semelhante à situação anterior, podemos também analisar as posições de um ponto em relação ao plano, tomado como referencial, de modo que o plano, tendo duas dimensões (comprimento e largura), faz com que o ponto precise de duas coordenadas para se orientar.

Vale ressaltar que o plano utilizado para o estudo da geometria analítica é chamado de plano cartesiano, um plano graduado proposto por René Descartes, definido por duas retas perpendiculares x e y que concorrem sobre o ponto O(0; 0) (lê-se origem de coordenadas 0 em x e 0 em y). Os valores em x são chamados de abscissas e os valores em y de ordenadas. Assim, para esse modelo de orientação coordenada, um ponto genérico P(x0; y0) tem abscissa x0 e ordenada y0.

Plano cartesiano com ponto genérico P
Plano cartesiano com ponto genérico P

Exemplo:

Pontos A(2,3), B(-2,4), C(-1,-2), D(6,-3), E(3,0) e F(0,-5) no plano cartesiano
Pontos A(2,3), B(-2,4), C(-1,-2), D(6,-3), E(3,0) e F(0,-5) no plano cartesiano

Distância entre dois pontos

A partir de agora, todo o estudo será considerado sob referencial no plano cartesiano.

Podemos calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano pela fórmula:

d_{AB}=\sqrt{\left |X_{A}-X_{B} \right |^{2}+ \left | Y_{A}-Y_{B} \right |^{2}}

 

Sendo A o ponto com coordenadas A(xA, yA) e B o ponto com coordenadas B(xB, yB). Podemos escrever essa fórmula de forma mais condensada, da seguinte maneira:

d_{AB}=\sqrt{(\Delta x^{2})+(\Delta Y^{2})}

Vale ressaltar que esta fórmula é obtida através da relação com o teorema de Pitágoras, bastando, para isso, desenhar um triângulo retângulo a partir dos pontos A e B, como na figura abaixo:

Podemos chegar à fórmula da distância entre dois pontos através do triângulo retângulo e do teorema de Pitágoras
Podemos chegar à fórmula da distância entre dois pontos através do triângulo retângulo e do teorema de Pitágoras

Exemplo:

Dados os pontos P(2; 2) e Q(4; 4), a distância entre P e Q pode ser dada por:

    \begin{flalign*} &D_{PQ}=\sqrt{(4-2)^{2}+(4-2)} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}& \end{flalign*}

Ponto médio de dois pontos

Considere M o ponto médio dos pontos A e B. Necessariamente dAM=dBM, de modo que M esteja a uma distância intermediária entre os pontos A(xA; yA) e B(xB; yB).

Ponto médio M de AB no plano cartesiano
Ponto médio M de AB no plano cartesiano

Sendo assim, podemos calcular as coordenadas de M por:

M\left ( \frac{X_A+X_B}{2};\frac{Y_A+Y_B}{2}\right)

Exemplo:

Podemos calcular as coordenadas do ponto médio M dos pontos A(4; 2) e B(6; 8):

M\left ( \frac{4+6}{2};\frac{2+8}{2}\right)= M\left ( 5;5\right)

Razão da Secção

Dados os pontos A(xA; yA), B(xB; yB) e C(xC; yC) de uma mesma reta, o ponto C divide o segmento AB em uma razão, denominada razão de secção e indicada por r=\frac{AC}{CB}

Exemplo:

Para exemplificar a razão de secção, vamos tomar um eixo com os pontos A, B, C, D, E, F e G, de modo que esses pontos estão igualmente espeçados, com distância l, como mostra a figura abaixo.

Razão da secção
Razão da secção

Vamos calcular as razões (ABC), (ABD), (BFD) e (GAE):

(ABC)=\frac{AC}{CB}=\frac{X_{C}-X_{A}}{X_{B}-X_{C}}=\frac{2l}{-l}=-2

 

(ABD)=\frac{AD}{DB}=\frac{X_{D}-X_{A}}{X_{B}-X_{D}}=\frac{3l}{-2l}=-\frac{3}{2}

 

(BFD)=\frac{BD}{DF}=\frac{X_{D}-X_{B}}{X_{F}-X_{D}}=\frac{2l}{2l}=1

 

(GAE)=\frac{GE}{EA}=\frac{X_{E}-X_{G}}{X_{A}-X_{E}}=\frac{-2l}{-4l}=\frac{1}{2}

 

Para o plano cartesiano, podemos pensar na configuração abaixo:

Relação de razão no plano cartesiano
Relação de razão no plano cartesiano

De modo que podemos estender o nosso exemplo fazendo a razão de secção para cada eixo coordenado:

r=\frac{AC}{CB}=\frac{X_{C}-X_{A}}{X_{B}-X_{C}}=\frac{Y_{C}-Y_{A}}{Y_{B}-Y_{C}}

Baricentro

O baricentro (G) é o encontro das medianas de um triângulo, conforme figura abaixo:

Baricentro determinado pelas medianas de um triângulo
Baricentro determinado pelas medianas de um triângulo

Por geometria analítica, podemos encontrar as coordenadas do baricentro G(xG, yG) de um triângulo definido pelos pontos A(xA; yA), B(xB; yB) e C(xC; yC), pela seguinte fórmula:

G\left (\frac{X_{A}+X_{B}+X_{C}}{3}; \frac{Y_{A}+Y_{B}+Y_{C}}{3}\right )

Área de um triângulo

Podemos calcular a área de um triângulo ABC sabendo as coordenadas de cada um de seus vértices, através do cálculo do determinante dessas três coordenadas, dividido por dois.

Portanto, sendo A a área do triângulo, temos que:

 

A=\frac{\left | D\right |}{2}, onde \left | D\right |= \left | \begin{vmatrix} X_{A} & Y_{A} & 1\\ X_{B} & Y_{B} & 1\\ X_{C} & Y_{C} & 1 \end{vmatrix} \right |

Vale ressaltar que podemos calcular o determinante de uma matriz 3×3 pela Lei de Sarrus

Exemplo:

Dado um triângulo definido pelos pontos A, B e C de coordenadas (0; 1), (2; 4) e (-7; 3), respectivamente, podemos calcular a área do triângulo por:

A=\frac{\left | D\right |}{2}, em que A= \frac{\left [ \begin{matrix}  0 & 1 &1 \\  2& 4 &1 \\ -7& 3 & 1 \end{matrix} \right ]}{2}

que, por Sarrus, chega-se A=\frac{25}{2} = 12,5

Condição de alinhamento de 3 pontos

Sejam três pontos A(xA; yA), B(xB; yB) e C(xC; yC). Temos duas possíveis configurações para esses pontos: colineares (alinhados) ou não colineares (não alinhados), conforme figura abaixo.

Pontos A, B e C colineares e pontos A, B e C não colineares
Pontos A, B e C colineares e pontos A, B e C não colineares

Perceba que quando três pontos não são colineares eles formam um triângulo que os contém e, portanto, teremos área do triângulo diferente de zero. Quando os pontos são colineares, eles não formam triângulo e, portanto, não teremos área de triângulo, ou seja, sua área será zero.

Do cálculo de área do triângulo, A=\frac{\left | D \right |}{2} , podemos concluir que se três pontos não são colineares, necessariamente D≠0 para que haja resultado para a área A e, se esses pontos são colineares, necessariamente D=0, para que a área A seja 0.

Resumindo, a condição de alinhamento de três pontos A(xA; yA), B(xB; yB) e C(xC; yC),ou seja, para que eles sejam colineares, devemos ter:

D=0\Rightarrow

\left |\begin{matrix} X_{A} & Y_{A} & 1\\ X_{B} & Y_{B} & 1\\ X_{C} & Y_{C} & 1 \end{matrix}\right |=0

 

Exemplo:

Para os pontos A, B e C, temos respectivamente as coordenadas (2; 1), (3; k) e (1; 1). Qual deve ser o valor de k para que esses pontos estejam alinhados?

D=0\Rightarrow

 

\left |\begin{matrix} X_{A} & Y_{A} & 1\\ X_{B} & Y_{B} & 1\\ X_{C} & Y_{C} & 1 \end{matrix}\right |=0\Rightarrow

 

\left |\begin{matrix} 2 & 1 & 1\\ 3& k & 1\\ 1& 1& 1 \end{matrix}\right |=0

Por Sarrus, chegamos em k=1. Ou seja, quando k=1, os três pontos estão alinhados.

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