Estudo da reta

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Na geometria euclidiana plana, podemos determinar a reta como um dos axiomas de Euclides. A reta é formada por infinitos pontos e definida por dois pontos distintos. Todavia, em geometria analítica, de forma análoga ao estudo do ponto, pode-se estudar a reta sob um parâmetro cartesiano. Ou seja, estudar a reta algebricamente.

Equação geral da reta

Na geometria analítica, a equação geral da reta é dada pela forma r: ax + by + c = 0, de maneira que a e b são coeficientes das incógnitas x e y, respectivamente, e c é o termo independente da equação, para a, b e c pertencentes aos números reais.

Exemplo:

r: 2x + 3y + 3 = 0, em que a = 2, b = 3 e c = 3.

Reta r no plano cartesiano
Reta r no plano cartesiano

Vale ressaltar que o termo independente da equação da reta é a coordenada em y, quando o ponto possui coordenada zero para x.

Exemplo:

Seja a reta r: 2x + y = 4. Quando x = 0, temos:

2.0 + y = 4

y = 4

Portanto, 4 é o termo independente da equação da reta.

Outro aspecto que devemos destacar é que para toda reta que passa pela origem O, que possui coordenadas (0,0), a equação não possuirá termo independente, ou seja, c = 0.

 

Exemplo:

Reta s: y = x

Reta s no plano cartesiano
Reta s no plano cartesiano

Cálculo da equação da reta

Dados dois pontos pertencentes a uma reta, podemos calcular a equação desta reta através de um determinante particular para o caso:

\begin{vmatrix} x & y &1 \\ x_{0} & y_{0} & 1\\ x_{1} & y_{1} & 1 \end{vmatrix} = 0

 

Em que x e y são coordenadas genéricas, x0 e y0 ­são coordenadas de um ponto da reta e x1 e y1 são coordenadas de outro ponto da reta. Resolvendo este determinante e igualando-o a zero, obtemos a equação da reta.

 

Exemplo:

Determinar a reta s que passa pelos pontos P(1,2) e Q(2,3):

 

O determinante toma a forma:det =\begin{vmatrix} x & y &1 \\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0

Resolvendo o determinante por Sarrus, temos:

det = \begin{vmatrix} x & y &1 \\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}     det =\begin{vmatrix} x & y &1 \\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} x & y\\ 1 & 2\\ 2 & 3 \end{matrix}     det = 2x +2y+3-4-3x-y=0

 

Rearranjando os termos, chegamos à equação geral da reta: – x + y – 1 = 0.

Coeficiente angular

Outra forma de determinarmos a equação de uma reta no plano cartesiano é conhecendo um de seus pontos e sua inclinação, seu coeficiente angular, em relação ao eixo das abscissas (eixo Ox). Ou seja, dado um ponto e o coeficiente angular da reta que passa por este ponto, pode-se determinar a equação desta reta.

Uma importante informação que devemos ter em mente é que o coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo que esta reta faz com o eixo Ox.

Assim, o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado pela fórmula \mathbf{m=tan(\alpha)=\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}} onde x e y são coordenadas de um ponto da reta e x0 e y0 são as coordenadas de outro ponto da reta.

Exemplo:

Dados os pontos P(5,7) e Q(3,8), determine o coeficiente angular da reta que passa por esse pontos.

 

m=\frac{8-7}{3-5}= -\frac{1}{2}

 

Com isso, dado um ponto qualquer da reta e o valor de m, podemos encontrar a equação da reta da seguinte forma: \mathbf{(y=y_{0}) = m(x-x_{0})}.

Assim, sempre que o y estiver isolado em um lado da igualdade, m será o coeficiente de x.

 

Exemplo:

Determinar a equação geral da reta que passa pelo ponto P(2,6) com coeficiente angular m = 4:

(y-6) = 4(x-2)
y-6=4x-8
-4x+y+2=0

Formas da equação da reta

No estudo da reta, as equações que as descrevem podem assumir diferentes formatos. Abaixo, apresentaremos a forma reduzida, a forma paramétrica e a forma segmentária.

Forma reduzida

A equação da forma reduzida deriva da equação geral da reta, isolando-se o y para obter a inclinação da reta em relação ao eixo x.

De uma forma geral e genérica, temos que isolando y na equação geral r: ax + by + c = 0 obteremos:

by=-ax-c\Rightarrow y=-\frac{a}{b}x -\frac{c}{b}

Deste modo, definimos \mathbf{m=-\frac{a}{b} }  e  \mathbf{q=-\frac{c}{b}}  de forma que:  y = mx + q.

Deste modo, chegamos à forma reduzida da equação da reta, em que m=-\frac{a}{b} determina a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. Caso a reta seja paralela ao eixo Oy , não poderemos escrever a equação de forma reduzida, uma vez que m tenderá ao infinito.

 

Exemplo:

Seja a equação geral de uma reta dada por r: 2y – 4x + 6 = 0, determinar a equação reduzida desta reta:

Primeiramente devemos isolar o y:

2y = 4x – 6

Agora, dividindo toda a equação por 2:

y = 2x – 3 (Equação reduzida da reta).

 

Exemplo:

Considerando uma reta que ela por P(2, 7) e Q(–1, –5), encontre a forma reduzida da reta (y = mx + q):

Substituindo os valores das coordenadas de P(2,7) na forma genérica da equação reduzida, temos:

7 = m.2 + q
7 = 2m + q
2m + q = 7

Realizando o mesmo procedimento para Q(–1, –5):

–5 = m.(–1) + q
–5 = –m + q
–m + q = –5

 

Nesse caso, os valores dos coeficientes angular (m) e linear (q) serão calculados por um sistema de equações:

Isolando q na 2ª equação:

–m + q = –5
q = –5 + m

Substituindo q na 1ª equação:

 

2m + q = 7
2m + (–5 + m) = 7
2m – 5 + m = 7
3m = 7 + 5
3m = 12
m = 12/3
m = 4

 

Calculando o valor de q:

q = –5 + m
q = –5 + 4
q = –1

Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 7) e Q(–1, –5), corresponde à expressão y =4x–1.

 

Forma segmentária

Dados dois pontos, o ponto A de coordenadas (a,0), que intercepta o eixo x, e o ponto B de coordenadas (0,b), que intercepta o eixo y, podemos calcular o coeficiente angular como:

m=\frac{yA-yB}{xA-xB}=\frac{0-b}{a-0}

m=-\frac{b}{a}

 

Considerando n = b e substituindo na forma reduzida, obtemos:

y=-\frac{b}{a}x+b

 

Agora, multiplicando toda a equação por a:

ay = -bx + ab

 

Dividindo todos os membros por ab, o resultado é a equação segmentária da reta:

\mathbf{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}

Sendo a≠0 e b≠0.

 

Exemplo:

Escreva, na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(2,0) e tem coeficiente angular 2.

Primeiro, devemos encontrar o ponto B(0,b), substituindo-o na expressão do coeficiente angular:

m=-\frac{b}{a}

2=-\frac{b}{5}

 b = -10

 

Substituindo os valores de a e b na forma padrão da equação segmentária, obtemos a equação:

-\frac{x}{5}-\frac{y}{10}=1

Forma paramétrica

O gráfico de uma função pode ser denominado de curva no plano cartesiano. A curva, por sua vez, pode ser parametrizada, o que significa dizer que podemos escrever as coordenadas de um ponto genérico dessa curva em função de uma outra variável, normalmente denominada pela letra t.

x = f(t)

y = g(t)

Em que t é chamado de parâmetro e pertence ao conjunto dos números reais. Conforme se altera os valores de t, altera-se, também, os valores de x e y, obtendo-se os pontos que compõem a curva do gráfico no plano cartesiano. Quando isso é feito, denomina-se parametrização da curva. Se f(t) e g(t) são funções do primeiro grau, então elas serão as equações paramétricas de uma reta.

Gráfico equações paramétricas ponto (x,y)

Exemplo:

Transformar a equação geral y = 3x + 1 numa equação parametrizada.

Primeiro, deve-se escolher uma expressão em função de t, arbitrária, para substituir em qualquer uma das variáveis, desde que essa função seja do primeiro grau. Sendo assim:

y = 3t + 4

Substituindo essa expressão na equação da reta:

3t + 4 = 3x + 1

Agora, isola-se o x, para descobrir o x em função de t:

3x = 3t + 4 − 1

3x = 3t + 3

x = t + 1

Assim, temos a reta parametrizada em funções de t para x e y:

x = t + 1

y = 3t + 4

Ainda há a possibilidade de efetuar o processo inverso, para testar se a parametrização está de acordo com a equação reduzida da reta. Isolando t em x neste caso:

x = t +1

t = x − 1

Substituindo em y:

y = 3t + 4

y = 3(x−1) + 4

y = 3x −3 + 4

Por fim, reencontramos a equação reduzida, dada pela expressão:

y = 3x + 1

Retas paralelas

Na geometria analítica, podemos definir retas paralelas como aquelas que possuem o mesmo valor para o coeficiente angular, fazendo com que estas possuam a mesma inclinação e, consequentemente, não se cruzem em nenhum ponto. Em resumo, duas retas r e s serão paralelas se, e somente se, mr = ms.

 

Exemplo:

Verifique se as retas r e s, abaixo são paralelas.

r: 2x + 3y – 7 = 0 

s: – 10x – 15y + 45 = 0 

Devemos verificar o coeficiente angular das retas. Para encontrar o coeficiente angular, precisamos isolar y na equação geral da reta.

Reta r: 2x + 3y – 7 = 0

3y = -2x + 7

 

y=-\frac{-2x}{3}+\frac{7}{3}

m_{r}=-\frac{2}{3}

 

Faremos o mesmo processo para a reta s.

Reta s: – 10x – 15y + 45 = 0

-15y = 10x – 45

m_{s}=\frac{-2}{3}

 

Como m_{4}=m_{s}, então as retas são paralelas.

Retas r e s no plano cartesiano
Retas r e s no plano cartesiano

Retas perpendiculares

Duas retas são ditas perpendiculares, ou seja, formam um ângulo reto entre si, quando o produto de seus coeficientes angulares resultar em -1 (m_{r} x m_{s}=-1).

 

Exemplo:

Determine se as retas s: y + x = 0 e t: y – x = 0 são perpendiculares.

Primeiramente, devemos isolar o y em ambas as equações:

Para a reta t: y = x

E para a reta s: y = -x

Temos, então, ms = 1 e mr = -1.

Assim,  e as retas são perpendiculares.

Ângulo de duas retas

retas r e s no plano cartesiano
Retas r e s no plano cartesiano

Sejam r: y = m1x + c1 e s: y = m2x + c2 duas retas, tal que m1 e m2 são seus coeficientes angulares e c1 e c2, seus coeficientes lineares. O ângulo entre essas duas retas, na geometria analítica, sempre estará se referindo ao ângulo agudo (ângulo inferior a 90°) que estas retas formam.

Ângulo formado por duas retas, r e s
Ângulo formado por duas retas, r e s

Através de uma fórmula que está relacionada com a tangente da soma, podemos calcular a tangente do ângulo β formado entre duas retas, pela fórmula \mathbf{tan(\beta )=\left | \frac{m_{r}-m_{s}}{1+m_{r}.m_{s}} \right |}, desde que nenhuma das retas seja vertical, ou seja, retas da forma y = c, sendo c um termo independente fixo.

Exemplo:

Determine o ângulo formado entre as retas r: x – y = 0 e s: 3x + 4y – 12 = 0.

Primeiro, devemos deixar as retas em suas formas reduzidas:

r: y = x

s: y=-\frac{3x}{4}+3, de forma que:

mr = 1 e ms = -\frac{3}{4}

 

Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:

tan(\beta )=\left | \frac{1(-\frac{3}{4})}{1+1.(-\frac{3}{4})} \right |=7 , portanto \beta = arctan(7)\cong 81,9°.

 

Para o caso em que uma das retas for vertical, o ângulo entre essa reta vertical da forma r: x = c e outra reta da forma s: y = msx + c pode ser dado pelo arctan(\beta) em que tan(\beta) = \left | \frac{1}{m_{s}} \right |.

Distância de ponto à reta

Supondo que o ponto tenha coordenadas (x0,y0) e que a equação da reta seja ax + by + c = 0, a distância, chamada de d, será calculada pela seguinte fórmula:

 

\mathbf{d=\left | \frac{ax_{0}+by_{0+c}}{\sqrt{a^2+b^2}} \right |}

 

Reta com pontos x0, y0 e representação de d

Exemplo:

Qual a distância entre o ponto (2,3) e a reta 3x – 4y + 1 = 0?

x0 = 2       a = 3x     c = 1                                                                                            

y0 = 3       b = -4              

d=\left |\frac{3.2+(-4).3+1}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right |=\left | \frac{-5}{\sqrt{25}} \right |=\left | \frac{-5}{5} \right |=1

                                      

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