Conceitos primitivos e postulados da geometria plana

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Na matemática, podemos considerar teoremas e fórmulas como resultados de sequências lógicas, ou seja, para tudo na matemática se segue uma linha de desenvolvimento, saindo de pontos de raciocínios e chegando em outros consequentes. Porém, se tal ciência segue esta linha de desenvolvimento, qual seria o ponto inicial e de onde ele surgiu? As noções primitivas e postulados são as chaves para responder à pergunta anterior.

Noções ou conceitos primitivos

Conceitos primitivos são aqueles que não necessitam de definições para sua afirmação e, na geometria, são as bases para a construção do conhecimento.

Ponto, reta e plano

Na geometria euclidiana, ponto, reta e plano são conceitos considerados primitivos.

O ponto, segundo Euclides, é aquilo de que nada é parte. Ou seja, o ponto é adimensional (sem dimensões), não possuindo largura, altura ou profundidade, sendo assim, isento de medições. O ponto também é a base da geometria, uma vez que, a partir de conjuntos de pontos, quaisquer figuras podem ser formadas.

Formalmente, representamos pontos por um “pingo” (como o da letra “i”), contudo vale a ressalva de que se trata somente de uma representação, sendo impossível mensurar um ponto em sua essência.

Representação do ponto
Representação do ponto

Utilizamos os pontos como diversas ferramentas, sendo uma delas parte do sistema de coordenadas

Para a notação do ponto, utilizamos letras maiúsculas latinas: A, B, C, …

A reta, na geometria plana, é um conjunto de infinitos pontos colineares subsequentes. Ou seja, é uma linha infinita que não se curva. Assim sendo, a reta é uma entidade unidimensional (uma dimensão) simbolizada por uma linha que conceitualmente se estenderia infinitamente para os dois sentidos opostos.

Podemos notar que, por mais que possa ser caracterizada, uma reta não pode ser definida, pois os pontos que a configuram também não podem.

Representação da reta
Representação da reta

Para a notação da reta, utilizamos letras minúsculas latinas: a, b, c, …

Já o plano, por mais que também não possa ser definido, é uma entidade primitiva bidimensional (altura e largura) que pode ser estudado em relação à sua formação.

Podemos entender o plano pelo enfileiramento de infinitas retas, ou seja, o plano contém infinitas retas e infinitos pontos e, assim, o plano é o conjunto infinito e ilimitado de retas.

É dentro dos planos que se constituem os polígonos (figuras geométricas de três ou mais lados), como triângulos, eneágonos, quadrados e etc.

Representação do plano
Representação do plano

Para a notação do plano, utilizamos letras gregas minúsculas: α, β, γ …

Postulados da geometria euclidiana

Postulados, na matemática, podem ser definidos como pontos de partidas dos quais a teia de informações e desenvolvimentos é iniciada. Assim sendo, são o que se considera como fato reconhecido, como uma verdade inquestionável. O postulado é uma afirmação aceita sem demonstração.

Na geometria euclidiana plana, existem cinco postulados essenciais para a formação das noções sequentes.

Postulados da existência

O primeiro postulado da existência de Euclides enuncia que: “Numa reta, bem como fora dela há infinitos pontos”.

Este postulado se faz claro quando feita a análise de que um ponto é adimensional e, assim, cabem infinitos pontos em qualquer lugar.

Representação do postulado da existência para pontos em uma reta
Representação do postulado da existência para pontos em uma reta

O segundo postulado da existência diz que: “num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos”.

Representação do postulado da existência para o plano
Representação do postulado da existência para o plano

Postulados da determinação

Divide-se o postulado da determinação em dois, um para a reta e outro para o plano.

Da Reta: “Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles”.

Representação do postulado da determinação da reta
Representação do postulado da determinação da reta

Do plano: “Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles”.

Representação do postulado da determinação do plano
Representação do postulado da determinação do plano

Veja que, se três pontos são colineares (alinhados), eles determinam infinitos planos que passam por eles:

Três pontos colineares determinam infinitos planos que passam por eles
Três pontos colineares determinam infinitos planos que passam por eles

Postulado da inclusão

“Se uma reta possui dois pontos distintos contidos no plano, então essa reta está contida no plano.”

Representação do postulado da inclusão
Representação do postulado da inclusão

Postulado das retas paralelas

“Por um ponto P passa uma única reta r paralela a uma reta s dada”

Representação do postulado das paralelas
Representação do postulado das paralelas

Retas concorrentes

Na geometria euclidiana plana, retas concorrentes são aquelas dadas por qualquer reta que não obedeça ao quarto postulado (postulado das retas paralelas). Ou seja, qualquer reta que passe por um ponto P, externo à reta dada, e que não possua inclinação igual à da reta dada, será uma reta concorrente a essa reta dada.

Assim sendo, retas concorrentes se encontram em um único ponto, somente uma vez.

Reta s e r concorrentes
Reta s e r concorrentes

Segmento de reta

Dada uma reta e dois pontos contidos nela, esses dois pontos irão determinar um segmento de reta, ou seja, uma parte da reta com duas extremidades determinadas.

Representamos um segmento qualquer de extremidades A e B, pela forma \overline{AB}.

Exemplo:

Segmento de reta  dados pelos pontos A = 3 e B = 10 da reta real IR:

Segmento AB
Segmento AB

Semirreta

A semirreta é um conceito geométrico que, assim como o segmento de reta, também é obtida a partir da reta. Assim, dado um ponto qualquer em uma reta, a semirreta é o conjunto de pontos colineares que se inicia em um ponto de origem e se estende infinitamente. Ou seja, sendo a reta infinita, qualquer ponto contido nesta reta a dividirá em duas semirretas.

Representação da semirreta
Representação da semirreta

Exemplo:

Dada a reta real IR (aquela que contém todos os números reais), o zero divide essa reta em duas semirretas, um que se prolonga para o +∞ e outra que se prolonga para o -∞, ambas com origens no ponto zero.

Duas semirretas da reta real com origem em zero

Dois segmentos são tidos como consecutivos se, e somente se, compartilham uma de suas extremidades, ou seja, a extremidade de um dos segmentos também é a extremidade do outro.

Assim sendo, dados três pontos, pode-se formar dois segmentos consecutivos com um ou mais pontos em comum. Além disso, segmentos consecutivos podem ser divididos em segmentos consecutivos colineares, , quando pertencem a mesma reta, ou segmentos consecutivos não-colineares, quando os três pontos que constituem os segmentos pertencem ao mesmo plano, contudo não pertencem a mesma reta.

 

Segmentos consecutivos colineares
Segmentos consecutivos colineares

 

Segmentos consecutivos não-colineares
Segmentos consecutivos não-colineares

Segmentos colineares

Dois segmentos são ditos colineares se, e somente se, ambos pertencem a mesma reta e, assim, podem estar dispostos em duas configurações: consecutivos ou não consecutivos.

Segmentos colineares consecutivos são os que cumprem os quesitos do tópico anterior (possuir uma extremidade em comum), enquanto os segmentos colineares não consecutivos necessitam de quatros pontos colineares para serem destacados, uma vez que não possuem ponto em comum e um segmento de reta é dado por dois pontos de extremidades.

Segmentos colineares consecutivos

Segmentos colineares não-consecutivos

Segmentos congruentes

São ditos congruentes os segmentos de retas que possuem a mesma distância entre suas extremidades, porém são segmentos com extremidades em diferentes pontos.

Exemplo:

Dada a reta real IR, os segmentos \overline{AB}  e \overline{CD}  dados pelos pontos A=4, B=8 e C=10, D=14, são ditos congruentes, uma vez que existem 4 unidades entre as extremidades de ambos segmentos.

Segmentos congruentes AB e CD na reta real

Ponto médio de um segmento

Um ponto é dito ponto médio de um segmento se, e somente se, divide o segmento em dois segmentos consecutivos adjacentes e congruentes, ou seja, a medida do segmento dado por uma extremidade do segmento inicial e o ponto dito médio será a mesma medida do outro segmento adjacente dado pelo ponto dito médio e a outra extremidade do segmento inicial.

como ponto médio do segmento AB
como ponto médio do segmento AB

Exemplo:

Dada a reta real e os pontos A = -5, P = 0 e C = 5, P é ponto médio do segmento \overline{AB}, pois forma dois segmentos consecutivos, adjacentes e congruentes.

Razão de seção

A razão de seção pode ser dada para a seção interna e externa.

Razão de seção interna

Considere um segmento de reta \overline{AB} e um ponto C, interno deste segmento. Pode-se calcular a razão da seção K, pela divisão das medidas dos segmentos na forma: K=\frac{AC}{CB}, em que AC é o tamanho do segmento \overline{AC} e CB, o tamanho do segmento \overline{CB}, expondo quantos segmentos \overline{CB} cabem no segmento \overline{AC}.

Segmento AB Dividido em AC e CB
Segmento AB Dividido em AC e CB

Assim sendo, algumas observações podem ser tomadas:

  1. Se K = 1, C é ponto médio de AB;
  2. Se K < 1, C está mais próximo de A;
  3. Se K = 0, C e A são coincidentes;
  4. Se K > 1, C está mais próximo de B;
  5. Se K tende ao infinito, C tende a B.

Exemplo:

Um segmento \overline{AB} de medida 24 foi dividido internamente por um ponto M na razão K=1/3, assim sendo, determine o tamanho do segmento \overline{MA}.

Seja MA o tamanho do segmento \overline{MA}, AM o tamanho do segmento \overline{AM} e MB o tamanho do segmento \overline{MB}.

Primeiramente, sabemos que MA = AM  e que K=\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}.

Logo:

\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}\leftrightarrowAM=\frac{MC}{3}\leftrightarrowMB=3AM

Mas, AM + MB = 24, ou seja, AM + 3AM = 24.

Assim, 4AM = 24, logo, AM = 24/4 = 6.

Como MA = AM, então MA = 6.

Razão da seção externa

Dado um segmento de reta \overline{AB} e um ponto C, externo à \overline{AB}, dizemos que em , K=\frac{AC}{CB} é a razão externa da seção, onde \left |AC-CB \right |=AB.

Segmento AB e ponto C externo à AB
Segmento AB e ponto C externo à AB

Assim sendo, algumas observações podem ser tomadas:

  1. Se K < 1, C está mais próximo de A;
  2. Se K > 1, C está mais próximo de B;
  3. Se K = 0, C e A são coincidentes;
  4. Se K tende ao infinito, C tende a B;
  5. Se K tente a 1, C tende ao infinito.

Exemplo:

Dado um segmento \overline{AB} e um ponto C externo ao segmento, se BC = 6 e K =1/3, quanto mede AB?

Discutir a posição de C.

Sabe-se que BC = CB e que K=\frac{AC}{CB}, portanto K=\frac{AB}{6}=\frac{1}{3}, assim sendo, 3AB=6 e AB=2

Se K=\frac{1}{3}, K < 1 e C está mais próximo de A.

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