Funções

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porEquipe Realize Educação

Diariamente somos confrontados por situações em que precisamos estabelecer relações. Por exemplo, no mais simples ato de ir ao supermercado, estabelecemos uma relação entre a quantidade de produtos comprada e o preço a ser pago. Ou, ainda, ao receber uma prova, conseguimos perceber claramente a relação entre a quantidade de questões acertadas e nossa nota. Na matemática, as funções são aquelas que estabelecem essas relações, associando elementos de dois conjuntos, por meio de uma lei de formação.

Par ordenado

Para melhor compreender o estudo de funções, iremos abordar primeiro o assunto de par ordenado.

Seu conceito pode ser entendido como sendo de um conjunto de dois números reais arranjados de modo a definir uma posição, um ponto, em referência a um plano. Geralmente utilizamos o par ordenado (x,y), associado ao plano cartesiano (aquele determinado por duas retas perpendiculares OX e OY).

Exemplo:

Dado o plano cartesiano, o par ordenado (2,2) determina a seguinte posição:

Ponto de coordenadas (2,2) representado no plano cartesiano
Par ordenado (2,2) no plano cartesiano.

Sistema cartesiano

Como observado na seção acima, o sistema cartesiano é um método de orientação, formado por dois eixos perpendiculares, numerados, tomado como base para representação de objetos e funções descritos por uma lei de formação. Em geral, denotamos a coordenada, a posição, no eixo horizontal, chamado abcissa, pela letra “x” e no vertical, o eixo das ordenadas, pela letra “y”.

Exemplo:

A equação da circunferência, x^{2} + y^{2} - 2 = 3, pode ser representada pelo objeto a seguir no plano cartesiano:

Representação de uma circunferência em um plano cartesiano
Representação de uma equação da circunferência em um plano cartesiano.

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), em que x \in A e y \in B.

Assim sendo, dado dois conjuntos A=\{a_{1}, a_{2}, a_{3}}\} e B=\{b_{1}, b_{2}, b_{3}\}, podemos formar pares ordenados pelo produto cartesiano AxB, com a regra de que os elementos do primeiro conjunto irão corresponder aos valores do eixo OX e os elementos do segundo conjunto aos valores do eixo OY.

Dessa forma, pelo produto cartesiano, formam-se os seguintes pares ordenados:

(a_{1}, b_{1}); (a_{1}, b_{2}); (a_{1}, b_{3});

(a_{2}, b_{1}); (a_{2}, b_{2}); (a_{2}, b_{3});

(a_{3}, b_{1}); (a_{3}, b_{2}); (a_{3}, b_{3});

Relação binária

A relação binária entre dois conjuntos A e B é qualquer subconjunto de AxB (produto cartesiano entre A e B).

Exemplo:

Dados dois conjuntos A={1, 2} e B={2, 4, 6, 8},

Teremos que AxB={(1,2);(1,4);(1,6);(1,8);(2,2);(2,4);(2,6);(2,8)}.

Dados os pares ordenados, alguns subconjuntos, que expressam relações binárias, são:

1)  {(1,2)};

2) {(1,2);(1,4)};

3) {(2,2);(2,6);(2,8)};

4) {(1,6);(2,4)}

Ainda, podemos representar as relações binárias em diagramas.

Exemplo:

Na figura abaixo observe a relação binária {(1,6);(2,4)}.

À esquerda, conjunto A com elementos 1,2 e 3. À direita, conjunto B com elementos 2,4 e 6. Flechas conectam os 1 e 6, 2 e 4
Diagrama representando uma relação binária.

Conceito de função

Na matemática, função é a relação entre elementos de dois conjuntos que pode ser definida por uma lei de formação. Assim, os elementos de um conjunto devem se relacionar com os elementos do outro, obedecendo essa lei.

Considerando o conjunto A={1,2,3} e a lei de formação y=x^{2}, em que x \in A e y \in B, os seguintes valores de y são obtidos:

Quando x = 1, y=1^{2}=1;

Quando x = 2, y=2^{2}=4;

Quando x = 3, y=3^{2}=9;

Assim, teremos B={1,4,9}.

Podemos escrever também y como f(x): \mathbf{f(x) = x^{2}}.

Definição de função

Formalmente, definimos função da seguinte forma:

Dados dois conjuntos não vazios A e B, f será uma função de A em B se, e somente se, para todo x \in A, existe um só y \in B, formando pares ordenados (x,y) \in f.

Exemplos:

Sejam os conjuntos A={0,1,2} e B={3,4,5}, f(x) = x + 3 e a seguinte representação em diagrama:

À esquerda, conjunto A com elementos 0, 1 e 2. À direita, conjunto B com elementos 3,4 e 5. Flechas conectam os 0 e 3; 1 e 4; 2 e 5
Diagrama representando uma função.

Assim, f é função de A em B, porque todos os elementos de A têm um único correspondente em B e todos os pares ordenados {(0,3); (1,4); (2,5)} respeitam a relação expressa pela lei de formação de f(x).

Agora, sejam os conjuntos A={0,1,2} e B={3,4,5}, uma lei de formação desconhecida e a seguinte representação em diagrama:

À esquerda, conjunto A com elementos 0, 1 e 2. À direita, conjunto B com elementos 3,4 e 5. Flechas conectam os 0 e 3; 1 e 4; 1 e 5; 2 e 5
Diagrama representando uma relação que não é função.

Neste caso, não há uma função de A em B, porque elementos de A têm mais de um correspondente em B.

Notação das funções

Dado o conceito de que função é a relação entre elementos de dois conjuntos, regida por uma lei de formação, temos a seguinte notação:

f: X \rightarrow Y, y = f(x), significando que cada elemento do conjunto X se relaciona com um elemento do conjunto Y por alguma lei de formação de f(x).

Também podemos notar funções na forma f(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+...+z, em que o grau de cada função depende exclusivamente do expoente mais elevado da incógnita x e z é o termo independente (o que não multiplica a incógnita).

Exemplo:

f: R \rightarrow R

f(x) = 3x + 2

Nesse exemplo, vemos uma função em que cada elemento do conjunto dos reais se relaciona com outro elemento do conjunto dos reais, por meio de uma função do primeiro grau, em que 2 é o termo independente.

Domínio e imagem

Definindo função pela relação dos elementos de um conjunto A com os de um conjunto B, o conjunto A é chamado conjunto domínio, aquele que possui todos os possíveis valores de x da função f(x).

Ainda sob mesma definição, chama-se contradomínio o conjunto B que possui todos os elementos que recebem os elementos de A (do domínio) e, ainda, destaca-se o conjunto imagem que é um subconjunto de B (do contradomínio) que possui somente os elementos que se relacionam com os elementos de A.

Vale a observação de que, partindo da definição de funções, um elemento da imagem pode estar relacionado com qualquer quantidade de elementos do domínio, mas cada elemento do domínio se relaciona somente a um elemento da imagem.

À esquerda, conjunto A com elementos 1, 2, 3 e 4. À direita, conjunto B com elementos 5, 6, 7, 8, 9 e10. Flechas conectam os 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8
Relação entre domínio, contradomínio e imagem.

Na imagem acima, temos:

Domínio: A = {1, 2, 3 , 4};

Contradomínio: B = {5, 6, 7, 8, 9, 10};

Imagem: Im = {5, 6, 7, 8}.

Função Injetora

Chama-se injetora a função na qual cada elemento do domínio A tem elementos distintos de B como imagem.

À esquerda, conjunto A com elementos 0, 1, e 2. À direita, conjunto B com elementos 1, 2, 3 e 4. Flechas conectam os 0 e 1; 1 e 3; 2 e 5
Função injetora de A em B.

Perceba que podem sobrar elementos no contradomínio, desde que os elementos do domínio tenham imagens distintas.

Função sobrejetora

Chama-se sobrejetora a função na qual todo elemento do contradomínio B é imagem de ao menos um elemento do domínio A.

À esquerda, conjunto A com elementos -2, -1, 1, e 3. À direita, conjunto B com elementos 12, 3 e 27. Flechas conectam os -2 e 12; -1 e 3; 1 e 3; 3 e 27
Exemplo de função sobrejetora.

Perceba, agora, que não podem sobrar elementos no contradomínio e que os elementos do domínio podem ter imagens iguais.

Função bijetora

Chama-se bijetora a função que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, na qual todos os elementos de A são correspondentes a todos os elementos de B, sem haver sobra de elementos em B.

À esquerda, conjunto A com elementos 0, -1, 1, e 2. À direita, conjunto B com elementos 4, 0, -4 e 8. Flechas conectam os 0 e 0; -1 e 4; 1 e 4; 2 e -8
Função bijetora de A em B.

Função Par

Chama-se função par a função na qual a lei de formação resulta no mesmo valor de imagem para um valor do domínio e também para seu oposto (o mesmo número, mas com sinal trocado).
Assim, temos que a função é par quando \mathbf{f(x)=f(-x)}.

Exemplo:

À esquerda, conjunto A com elementos 0, -1, -2, 1, e 2. À direita, conjunto B com elementos 0, 2 e 5. Flechas conectam os 0 e 0; -1 e 2; 1 e 2; -2 e 5; 2 e 5
Função par de A em B.

Exemplo:

Em f(x)=x^{2}, observa-se que f(1)=1^{2}= 1 e f(-1)=(-1)^{2}=1, ou seja, f(x)=f(-x).

Função ímpar

Chama-se função ímpar a função que obedece a seguinte propriedade: f(-x)=-f(x).

À esquerda, conjunto A com elementos 0, -1, -2, 1, e 2. À direita, conjunto B com elementos -1, -2, 0, 1 e 2. Flechas conectam os 0 e 0; -1 e 2; 1 e -2; -2 e 1; 2 e -1
Função ímpar de A em B.

Exemplo:

Dada a função f(x)=2x, temos que f(2)=4 e f(-2)=-4, ou seja, f(-x)=-f(x).

Função estritamente crescente

Dizemos que a função é estritamente crescente se, e somente se, para quaisquer pares de elementos x_{1} e x_{2} do domínio se x_{1} < x_{2} então f(x_{1}) < f(x_{2}). Ou seja, à medida que aumentamos o \mathbf{x}, também aumentamos \mathbf{f(x)}.

Exemplo:

A função f(x)= x + 2 é estritamente crescente, pois:

Se x = 1, f(1) =3.

E se aumentando o x, também aumentamos f(x), por exemplo, x=2, f(2)=4

Gráfico da função f(x)=x+2 no plano cartesiano
Exemplo de função estritamente crescente.

Função estritamente decrescente

Dizemos que a função é estritamente decrescente se, e somente se, para quaisquer pares de elementos x_{1} e x_{2} do domínio se x_{1} < x_{2} então f(x_{1}) > f(x_{2}). Ou seja, à medida que aumentamos o \mathbf{x}, diminuímos \mathbf{f(x)}.

Exemplo:

A função f(x)=-3x é estritamente decrescente em pois:

Se x = 1, f(1) =-3.

E se aumentamos o x, diminuímos f(x), por exemplo, x=2, f(2)=-6

Gráfico da função f(x)=-3x no plano cartesiano
Exemplo de função estritamente decrescente.

Função inversa

Para que uma função tenha uma função inversa, esta deve ser exclusivamente bijetora.

Dado dois conjuntos A={1,2,3} e B={2,3,4} e os pares ordenados (1,2); (2,3) e (3,4), podemos dizer que a lei de formação que relaciona A com B (f: A \rightarrow B) é y=x+1 e a função é bijetora. Contudo, também podemos pensar em uma lei de formação que relacione B com A (g: B \rightarrow A) é x=y-1 e a função ainda é bijetora.

Nesse caso, chamamos g de função inversa de f, denotado por g = f^{-1}.

Acima: À esquerda, conjunto A com elementos 0, 2, 4, 6, e 8. À direita, conjunto B com elementos 1, 3, 5, 7 e 9. Flechas conectam os 0 e 1; 2 e 3; 4 e 5; 6 e 7; 8 e 9. Abaixo: À esquerda, conjunto B com elementos 1, 3, 5, 7 e 9. À esquerda, conjunto A com elementos 0, 2, 4, 6, e 8. Flechas conectam os 1 e 0; 3 e 2; 5 e 4; 7 e 6; 9 e 8.]
Funções f e f^{-1}.

Composição de funções

Dadas as funções f: A \rightarrow B e g: B \rightarrow C, uma terceira função h: A \rightarrow C é chamada função composta de f com g e pode ser lida como g(f(x)) ou ainda gof (g bola f de x).

– Três conjuntos A, B e C representados por círculos. Uma flecha f conecta A e B, uma flecha g conecta B e C e uma flecha h conecta A e C.
Função h composta de f com g.

Exemplo:

Dadas as funções f(x)=x^{2} e g(x)=x+2, a função composta f(g(x))= fog é obtida substituído g(x) no lugar de x em f(x):

f(x) = x^{2}

f(g(x)) = (x+2)^{2}

f(g(x)) = fog = (x+2)^{2}= x^{2}+4x+4.

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