Progressão geométrica

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porEquipe Realize Educação

Na matemática, progressão geométrica (PG) é definida por uma sequência da qual cada termo é dado pelo produto de seu antecessor por uma razão (q).

Exemplo:

A sequência (1, 3, 9, 27, 81) é uma PG pois cada termo é o antecessor multiplicado por 3.

Razão da PG

Na PG, assim como em PA,  a sequência possuirá uma razão, desta vez dada por q, de modo que se dividirmos um termo por seu antecessor, o valor sempre será o mesmo e igual a q. Por exemplo na PG (1, 3, 9, 27, 81) temos que 3/1 = 9/3 = 27/9 = 81/27 = 3 = q.

Classificação de uma PG

Uma PG pode ser classificada como finita ou infinita, se possuir uma quantidade de termos limitada ou ilimitada, respectivamente.

Exemplos:

  • (2, 4, 8, 16) é uma PG finita pois tem uma quantidade limitada de elementos.
  • (2, 4, 8, 16, 32, 64, …) é uma PG infinita.

Podemos classificar uma PG também como convergente quando os termos tendem a zero ou divergente quando os termos tendem a +∞ ou -∞.

Exemplos:

  • (4, 2, 1, ½, ¼, 1/8, …) é uma PG convergente, pois tende a zero.
  • (1, 4, 16, 64, 256, …) é uma PG divergente, pois tende a +∞.
  • (-1, -5, -25, -125, …) é uma PG divergente, pois tende a -∞.

Podemos ainda classificar uma PG como crescente, quando a1>0 e q>1 ou a1<0 e 0<q<1, constante ou estacionária quando q=1 ou a1=0, decrescente, quando a1>0 e 0<q<1 ou a1<0 e q>1, ou alternante, quando a≠0 e q<0.

Exemplos:

  • (2, 6, 18, 54, …) é crescente (a1=2>0 e q=3>1).
  • (-27, -9, -3, -1, -1/3, …) é crescente (a1=-27<0 e 0<q=1/3<1).
  • (2, 2, 2, 2, …) é constante (q=1).
  • (0, 0, 0, 0, …) é constante (a1=0).
  • (48, 12, 3, ¾, 3/8, …) é decrescente (a1=48>0 e 0<q=1/4<1).
  • (-3, -9, -27, -81, …) é decrescente (a1=-3<0 e q=3>1).

Termo geral da PG

Como a PG é uma sequência na qual cada elemento é o anterior multiplicado pela razão q, podemos escrever, para uma PG An qualquer:

An=a1, a2, a3, a4, …, an = a1, a1.q, a1.q2, a1.q3, …, a1.qn-1. Ou seja, para um termo qualquer da PG podemos escrever a_{n}=a_{1}.q^{n-1} em que a_{n} é o termo desejado, a_{1} é o termo inicial da PG e n é o índice do termo procurado (sua posição na distribuição) e q é a razão da PG. A essa fórmula damos o nome de fórmula do termo geral da PG.

Exemplo:

Encontre o vigésimo termo da PG (2,4,8,16, 32, 64, 128,…), em que a razão q=2 e o termo inicial é 2.

a_{n}=a_{1}.q^{n-1}

a_{20}=2.2^{20-1}

a_{20}=2.2^{19}

a_{20}=1048576

Podemos escrever o termo geral de uma PG de outra maneira, colocando no lugar do a1 algum outro termo da sequência. A fórmula fica da seguinte maneira:

a_{m}=a_{n}.q^{m-n}

Exemplo:

Qual o vigésimo terceiro termo de uma PG de razão q=2 e a5=324?

Usando a fórmula a_{m}=a_{n}.q^{m-n}, temos:

a_{23}=a_{5}.q^{23-5}=324.2^{18}=84934656

Interpolação geométrica

Interpolar geometricamente um intervalo entre a1 e an, nada mais é do que encontrar valores nesse intervalo que descrevam uma PG, assim como em Interpolação aritmética. Para realizar a interpolação em questão, iremos utilizar do termo geral da PG.

Exemplo:

Considere um intervalo de a1 = 4 a a1 = 972. Para determinar o interior geométrico que configure uma PG de 6 elementos devemos interpolar 4 termos e fazer an = a6. Precisamos, primeiro, determinar a razão q:

a_{6}=a_{1}.q^{6-1}\Rightarrow

972=4.(6^{6-1})\Rightarrow

972=4q^{5}\Rightarrow

q^{5}=243\Rightarrow

q=\sqrt[5]{243}=3.

Assim, sabemos que a PG de 6 elementos que está contida no intervalo de a1 e an,possui razão q=3.

Termo médio

Em uma PG com número ímpar de elementos, seu termo médio pode ser encontrado pela média geométrica entre os extremos, ou seja, a raiz quadrada do produto dos extremos:

TM= \sqrt{a_{1}.a_{n}}, em que a1 e an são extremos.

Exemplo:

Para a P.G. (1, 2, 4, 8, 16), o termo médio é dado por \sqrt{1.16}=\sqrt{16}=4

Para resolver problemas

Para resolver alguns problemas que envolvem PG é conveniente usar uma notação especial para os termos envolvidos. Para três termos consecutivos em PG podemos usar a notação (x/q, x, x.q). Se o problema der o valor do produto de três termos consecutivos dessa PG, basta fazer (x/q).x.(x.q)=x3, e teremos apenas uma incógnita no problema. Basta então complementar com alguma outra informação do exercício.

Exemplo:

O produto de três termos consecutivos de uma PG é 216 e a soma é 26. Determine esses termos.

  • Podemos escrever esses termos com a notação (x/q, x, x.q).
  • Multiplicando, obtemos 216=(x/q).x.(x.q)=x3, ou seja, x=6.
  • Reescrevendo a notação, temos (6/q, 6, 6.q).
  • Agora, para a soma obtemos 26=6/q+ 6+ 6.q -> 26=(6+6q+6q2)/q -> 26q=6+6q+6q2->0=6-20q+6q2. Simplificando, chegamos em 0=3-10q+3q2 ou, rearranjando, 3q2 -10q+3=0. Resolvendo essa equação do segundo grau, chegamos em q=1/3 ou q=3.
  • Observe que se q=1/3 ou q=3, substituindo, chegamos em uma PG (2, 6, 18)

Termos equidistantes da PG

Termos equidistantes de uma PG são pares de termos da PG que estão a uma mesma distância dos extremos.

Por exemplo, na PG (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192), os termos a3 = 12 e a5 = 48 são equidistantes dos extremos (“duas casas até os extremos”) e os termos a2 = 6 e a6 = 96 são equidistantes dos extremos (“uma casa até os extremos”).

Todos os pares equidistantes dos extremos de uma PG, quando multiplicados, dão o mesmo valor. Exemplo:

a3 = 12 e a5 = 48; 12.48=576;

a2 = 6 e a6 = 96; 6.96=576.

Produto da PG

O produto dos n primeiros termos de uma PG pode ser calculado da seguinte maneira:

P_{n}=a^{n}_{1}.q^{\frac{n(n-1)}{2}}

Exemplo:

Para a PG de primeiro termo a1=4 e razão q=5, o produto dos 5 primeiros termos será dado por P_{n}=4^{5}.5^{\frac{5(5-1)}{2}}, ou seja, P_{n}=100^5.

Soma da PG

Podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG através da fórmula abaixo:

S_{n}=a_{1}.\frac{(q^{n}-1)}{q-1}.

Exemplo:

Para a PG de 4 termos, com  e q=2, a soma de todos os termos da sequência será dada por:

S_{4}=3.\frac{(2^{4}-1)}{2-1}=3. \frac{15}{1}=\frac{45}{1}=45.

Soma da PG infinita

Para uma PG infinita convergente, podemos calcular o valor da soma de todos os seus termos através da fórmula:

S=\frac{a_{1}}{1-q}

Exemplo:

Considere uma P.G. infinita S=(25, 5, 1, 1/5, 1/25, …). A soma dos termos desta PG é dada por:

S=\frac{25}{1-\frac{1}{5}}=\frac{25}{\frac{4}{5}}=31,25.

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