Equação do segundo grau

porEquipe Realize Educação

Na matemática, a equação do segundo grau, assim como a de primeiro grau , é uma operação da qual deseja-se encontrar o valor numérico de uma incógnita. Mas aqui a incógnita estará elevada ao grau 2.

Equação

Para entendermos a equação do segundo grau, primeiramente devemos entender o que é uma equação.

A equação é uma expressão algébrica com igualdade. Representa o equilíbrio entre valores que estão em lados opostos dessa igualdade (símbolo “=”). A equação é uma maneira de encontrar o valor numérico de uma incógnita através de manipulações algébricas.

A equação do segundo grau se dá por uma operação de igualdade matemática com incógnitas elevadas ao segundo expoente, necessariamente, e com a presença da incógnita elevada ao primeiro expoente em alguns casos, na forma ax²+bx+c=0, sendo x a incógnita (também representada por y e z, em algumas vezes), a e b sendo os coeficientes da operação e c o termo independente.

Exemplos:

$x^2+2x-2=0$ ;

$3x^2-9x=9$ ;

$x^2-9=0$ ;

$x^2=16$ .

Soluções

Em uma equação, chamamos de solução o valor encontrado que represente a incógnita, ou em outras palavras, o valor que satisfaça a igualdade. Representamos por S={} e colocamos as possíveis soluções da equação entre essas chaves.

Na equação do segundo grau, encontraremos no máximo duas soluções para satisfazer a igualdade, valendo a regra de que para cada equação, o máximo de soluções possíveis que as satisfaçam se dá pelo número do grau da equação.

Exemplos:

$x+3=2$ $\rightarrow$ Equação do primeiro grau $\rightarrow$ No máximo uma solução;

$x^3+x^2-3x+5$ $\rightarrow$ Equação do terceiro grau $\rightarrow$ No máximo três soluções;

$x^2+5x+9=0$ $\rightarrow$ Equação d segundo grau $\rightarrow$ No máximo duas soluções.

Método de Bhaskara para resolução da equação do segundo grau

Para se resolver uma equação do segundo grau, assim como na de primeiro grau, devemos isolar a incógnita de forma que encontremos seu valor numérico. Contudo, por se tratar de uma incógnita elevada a segunda potência, a manipulação algébrica não se torna tão trivial, de maneira que fórmulas pré-estabelecidas foram determinadas, facilitando o cálculo da incógnita.

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara tem seu nome em homenagem ao famoso matemático Bhaskara Akaria, um matemático indiano de prestígio, considerado o último matemático medieval importante da Índia.

Há muitas controvérsias sobre a origem do método de resolução em questão, sendo que para alguns a fórmula foi deduzida pelo próprio Bhaskara Akaria, enquanto outros argumentam que existem indícios de tal método desde muito antes do matemático indiano, chamando, então, a fórmula de Bhaskara de “método resolutivo para equações quadráticas”.

A fórmula de Bhaskara, ou método resolutivo, se dá por duas operações envolvendo os coeficientes da equação do segundo grau. Cada uma das duas operações é responsável por um possível valor para a incógnita, uma vez que, na equação do segundo grau, a incógnita pode assumir até dois valores. As duas operações são essas:

$x'=\frac{-b+\sqrt{(b^2-4.a.c)}}{2.a}$ , onde a e b são coeficientes da equação e x’ é uma possível solução da equação.

$x''=\frac{-b-\sqrt{(b^2-4.a.c)}}{2.a}$ , onde a e b são coeficientes da equação e x” é uma possível solução da equação.

Podemos, então, condensar a fórmula da seguinte maneira:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{(b^2-4.a.c)}}{2.a}$ , de modo que faremos uma operação para o sinal da adição e outra para a subtração.

Delta (∆)

Podemos minimizar a fórmula de Bhaskara da seguinte maneira: $x=\frac{-b \pm \sqrt{(\Delta)}}{2.a}$ , em que $\Delta=b^2-4.a.c$ .

Assim, temos três regras que dependem dos valores de ∆:

Para ∆>0, teremos duas soluções reais distintas, ou seja, x’≠x”.
Para ∆=0, teremos duas soluções reais iguais, ou seja, x’=x”.
Para ∆<0, não teremos solução real, pois pelas propriedades de raiz quadrada, não existe valor real que satisfaça a raiz quadrada de um valor negativo.

Exemplos:

$x^2-4x=5$

Rearranjando, temos $x^2-4x-5=0$ , com os coeficientes a, b e c valendo 1, -4 e -5 respectivamente,
Calculando $\Delta =b^2-4.a.c$ , temos $\Delta=(-4)^2-4.(1).(-5)$ . Assim, $\Delta=16-(-20=16+20=36)$ , ou seja, $\Delta>0$ .
Calculando os valores de x, temos: $x=\frac{-b \pm \sqrt{(b^2-4.a.c)}}{2.a}$
Portanto $x'=\frac{-(-4)+\sqrt{36}}{2.1}=5$
$x''=\frac{-(-4)-\sqrt{36}}{2.1}=-1$
Portando temos o conjunto de soluções S={-1,5}.

$x^2-14x+49=0$

Temos os coeficientes $a=1, b=-14$ e $c=49$ .
Calculando o
$\begin{flalign*} &\Delta=(-14)^2-4.(1).(49)=196-196=0.& \end{flalign*}$
Calculando os valores de x, temos: $x'=\frac{-(14)+\sqrt{0}}{2.1}=7$
$x''=\frac{-(14)-\sqrt{0}}{2.1}=7$
Portanto a solução é S={7}.

$4x^2+4x+2=0$

Temos que $a=4, b=4 e c=2$ .
Calculando $\Delta=4^2-4.4.2=16-32=-16$ , ou seja, $\Delta<0$ .
Portanto não existem soluções reais e a expressão não terá resposta (solução vazia), ou seja, S=Ø.

Outras formas de resolver a equação do segundo grau

Quando não temos termo independente

Na resolução da equação do segundo grau, quando não há presença do termo independente, simplesmente igualamos c a zero e aplicamos o Bhaskara. Mas nesse caso também podemos usar fatoração para resolver a equação.

Exemplo:

$2x^2-6x=0$ ⇒ $2x.(x-3)=0$ ⇒ $2x=0$ ou $x-3=0$ ⇒ $x=0$ ou $x=3$ . Solução S={0,3}

Quando não temos o coeficiente b

Quando a equação do segundo grau não possuir incógnita elevada ao primeiro expoente, ou seja, quando b=0, podemos resolver a equação sem nenhuma fórmula pré-estabelecida, utilizando somente manipulações algébricas.

Exemplo:

$x^2-36=0$ ⇒ $x^2=36$ ⇒ $x=\pm \sqrt{36}$ ⇒ $x= \pm 6$ . Solução S={-6, 6}

Soma e produto

Podemos resolver uma equação o segundo grau também pelo método da soma e produto. Esse método consiste em enxergar a equação do segundo grau da seguinte maneira:

$x^2-sx+p=0$ , onde s=soma e p=produto. Perceba que o coeficiente a=1. Caso não seja igual a 1, basta dividir toda a equação por a para chegar nesse formato. A partir daqui devemos encontrar dois números que somados dão s e multiplicados dão p.

Exemplo:

$x^2+5x+6=0$ ⇒ $x^2-(-5)x+6=0$ ⇒ s=-5 e p=6. Os números procurados são -2 e -3 pois:

$s=-2-3=-5$ e

$p=(-2).(-3)=6$

Portanto solução S={-2, -3}.

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