Operações com arcos

Neste wiki vamos enunciar as operações com arcos no ciclo trigonométrico. Um grande matemático que teve influência na construção deste conceito foi Ptolomeu, o autor de uma das maiores obras da trigonometria, a “Syntaxis Mathemética”. Essa obra é conhecida como Almagesto que tem significado, em árabe, de “a maior”, pois assim foi considerada na sua época.

Operação com arcos

Para compreendermos a soma de arcos, vamos relembrar que todo ângulo inscrito em uma circunferência tem um arco correspondente, como foi visto no wiki de ciclo trigonométrico. Desta forma, se existe a possibilidade de operarmos seus ângulos, então podemos operar seus arcos correspondentes, como mostra a figura abaixo.

Seno e cosseno da soma

Para encontrarmos a relação algébrica presente na soma de arcos, vamos utilizar a demonstração abaixo.

Primeiro vamos construir um triangulo de hipotenusa 1 inscrito no retângulo , e os ângulos de medida a e de medida b, conforme figura abaixo.

 

Pelas relações trigonométricas, podemos escrever:

Pelas mesmas relações trigonométricas no triangulo e considerando os resultados anteriores, temos:

   

Se analisarmos os ângulos, podemos concluir que   e o ângulo .

Pelas relações trigonométricas, temos que:

Triângulo CEF:

   

Triângulo ADF:

   

Como é um retângulo, as medidas dos lados opostos são iguais. Então, se igualarmos e , temos:

que define o seno da soma de arcos.

E agora, igualando e , temos:

que define cosseno da soma de dois arcos.

Seno e cosseno da diferença

Para encontrar o seno e cosseno da diferença de dois arcos, podemos fazer a-b=a+(-b) e aplicar as fórmulas da soma de arcos.

Para o seno da diferença, temos:

Para o cosseno da diferença, temos:

Tangente da soma

A tangente da soma é muito simples, pois utilizamos da substituição de tan(x) pela divisão de sen(x) por cos(x) como visto no wiki de funções trigonométricas. Então, se tg(x)=sen(x)/cos(x), temos que:

Então podemos substituir seno da soma e cosseno da soma na fórmula mostrada acima:

A sacada agora é dividir as duas partes da fração por cos(a).cos(b) e, deste modo, conseguimos cortar alguns termos e ficar com apenas valores em função de tangente:

Tangente da diferença

Para encontrar a tangente da diferença de dois arcos, podemos fazer a-b=a+(-b) e aplicar a fórmula da tangente da soma de arcos.

Arco duplo

Na álgebra básica dizemos que qualquer multiplicação pode ser reescrita em somas. Desta maneira, as relações que envolvem multiplicação por constante serão da seguinte forma:

Seguindo este pensamento, podemos aplicar as relações trigonométricas e utilizar a fórmula da soma para concluir o resultado do arco duplo 2a.

Seno de arco duplo

Fazendo e usando a fórmula do seno da soma de dois arcos, temos que:

Cosseno de arco duplo

Fazendo e usando a fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos que:

Usando a relação fundamental da trigonometria, podemos reescrever a fórmula acima de duas outras maneiras, fazendo a substituição do ou do . Se , então podemos escrever ou .

Substituindo

Substituindo

Tangente de arco duplo

Fazendo e usando a fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos que:

Transformação de soma e subtração em produto

Para deduzir as fórmulas de transformação em produto devemos primeiro relembrar as relações já vistas de soma e subtração de arcos:

Efetuando somas e subtrações entre essas equações, obtemos:

   

Essas relações são chamadas de fórmulas de Werner. Nessas fórmulas, vamos operar com a e b da seguinte maneira:

Isolando a na primeira equação e b na segunda, temos:

Substituindo nas fórmulas de Werner, temos as fórmulas de transformação em produto:

Para encontrar as fórmulas de transformação em produto para as tangentes, utilizaremos a relação vista no wiki de trigonometria . Então:

De modo análogo, podemos encontrar a seguinte fórmula da transformação em produto da diferença de tangentes: